Qualche settimana fa un (ottimo) ex-allievo, ora studente di fisica, mi ha confessato la sua difficoltà nel venire a patti con l'integrale di Lebesgue, forse a causa di una certa difficoltà nel capire le motivazioni che avevano indotto il matematico francese a stravolgere (ampliandola, in verità) la ben nota definizione Riemanniana. Lì per lì avevo saputo rispondere solo in maniera vaga, ricordando che con la "nuova" definizione è possibile integrare una famiglia più ampia di funzioni.
Purtroppo non avevo ancora terminato The Calculus Gallery, di William Dunham, senz'altro il più convincente libro sulla storia dell'analisi che mi sia capitato di leggere. Come si intuisce dal titolo, l'opera è idealmente strutturata come una galleria d'arte: ogni capitolo, come la sala di un virtuale museo, ci presenta un Maestro assieme ad uno o più dei suoi capolavori. Per citare quanto Dunham nota nella postfazione, la visita inizia dall'ala destinata all'Età Antica (Newton, Leibnitz, Johann e Jakob Bernoulli, Euler), per passare ai Classici (Cauchy, Riemann, Liouville, Weierstrass) e infine ai Moderni (Cantor, Volterra, Baire ed infine, appunto, Lebesgue). Attraverso un'oculata scelta di esempi, il "percorso espositivo" ci conduce dapprima attraverso un'analisi basata sul calcolo con le serie infinite, applicate a problemi sempre più spettacolari, che culminano con i virtuosismi di Eulero (ad esempio nella stima del pi greco); in un secondo tempo entra in campo il concetto di limite: Cauchy lo applica allo studio delle derivate, mentre Riemann lo utilizza per formalizzare la nozione di integrale. Nel frattempo, Liouville ricava grazie alle derivate la disuguaglianza che gli permetterà di costruire il primissimo numero trascendente. Più avanti, la scoperta di funzioni sempre più "patologiche" fa da motore per un'ulteriore evoluzione del Calculus, che con Cantor e Baire si sposa con la nascente teoria degli insiemi e, almeno per quanto riguarda il libro di Dunham, culmina con le innovazioni di Lebesgue, il primo a comprendere appieno i limiti dell'integrale di Riemann e ad estenderlo per giungere ad una definizione (basata, essenzialmente, su rettangoli orizzontali anziché verticali) che permette di controllare l'interscambiabilità dell'integrazione con l'operazione di passaggio al limite.
Insomma un gran libro, un altro notevole esempio di "divulgazione di alto livello", pensato soprattutto per chi un'infarinatura dei concetti trattati già la possiede. Leggetelo.
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