Oh no! More maths

Pare che dietro ad ogni potenziale matematico si nasconda un potenziale nerd, quasi come se nel tratto di DNA che codifica l'attitudine per le scienze esatte fosse codificata pure l'attrazione per SF, fumetti e videogames (sto certamente parlando anche di me stesso). Le cose si fanno però stimolanti quando al ricercatore riesce di coniugare nerditudine e interesse professionale. È il caso, ad esempio, del buffo saggio The Hardness of the Lemmings Game, or Oh no, more NP-Completeness Proofs (scaricatelo qui), in cui Graham Cormode, professore a Warwick con un resumé lungo così, si dedica seriamente all'analisi di Lemmings, che per chi non lo sapesse è uno dei capisaldi del divertimento videoludico degli anni '90, dove lo scopo del gioco è di prevenire l'estinzione di una torma di creaturine antropomorfe e stupidissime, ispirate idealmente ai simpatici roditori che, almeno a livello di leggende metropolitane, sembrerebbero pericolosamente inclini al suicidio di massa (ci si può giocare qui).

Il punto di vista di Cormode è quello della teoria della complessità computazionale: il problema dell'esistenza di una strategia vincente viene interpretato come problema decisionale, e classificato come tale. L'autore dimostra innanzitutto che si tratta di un problema di classe NP (Nondeterministic Polynomial, cioè tale che una soluzione può essere verificata in tempo polinomiale). Successivamente, per mezzo di una riduzione polinomiale al cosiddetto 3SAT (uno dei problemi NP-hard per antonomasia) si dimostra che l'esistenza di una strategia vincente è a sua volta NP-hard, e di conseguenza NP-completo (classificato cioè tra i più interessanti problemi decisionali, equivalente ad uno dei Millennium Problems della Fondazione Clay).

Korobeiniki

Probabilmente nessun videogame può vantare il successo di Tetris, il rompicapo ideato nel 1984 dall'ingegnere sovietico Alexey Leonidovich Pajitnov. Anche per quanto mi riguarda, credo di aver trascorso letteralmente settimane della mia vita a giocarci (ma forse esagero...). Ricordo che acquistai la mia prima versione, su cassetta per il Commodore 64, a Londra, al Virgin Megastore presso Marble Arch; più tardi ne distrussi letteralmente una versione tascabile nel corso di un interminabile "corso di ripetizione" nella gelida S-Chanf; ci ho giocato nei bar, su due telefonini Ericsson, su due iPhone, sull'iPad e online. Ma continuo a ritenere insuperata la versione per il Gameboy originale, con il martellante arrangiamento di Korobeiniki in sottofondo (ascolta qui, qui, qui e qui); ci ho giocato ancora poche ore fa: incredibile ma vero, dopo 23 anni il mio primo GB funziona ancora.

Un passatempo di natura geometrica come Tetris non poteva certo sfuggire all'attenzione dei matematici (anche grazie alla natura un po' nerd di questi ultimi); in effetti, non è difficile reperire in rete alcuni studi che prendono il gioco terribilmente sul serio. Heidi Burgiel, in How to Lose at Tetris, mostra che quasi tutte (in senso probabilistico) le partite di Tetris si concluderanno con una sconfitta, partendo dal fatto che una partita consistente esclusivamente di tetramini alternativamente a forma di Z e di S terminerà al massimo dopo la discesa di 69600 pezzi. In Tetris is Hard, Even to Approximate, invece, Erik Demaine, Susan Hohenberger e David Liben-Nowell analizzano la versione deterministica del gioco (dove la sequenza dei tetramini è nota a priori), riuscendo a dimostrare tra l'altro che i problemi "massimizzare il numero di righe", "massimizzare il numero di pezzi collocati" e "massimizzare il numero di tetris" sono tutti NP-completi.

Lara Croft e i quaternioni

"Well, Papa, can you multiply triplets?" Sembra che fosse questa la domanda con la quale i figli di Sir William Rowan Hamilton accoglievano il padre a colazione nei primi giorni dell'ottobre 1943. E  pare che la laconica risposta fosse, inevitabilmente, "No, I can only add and subtract them". Qualche giorno più tardi, però, durante una leggendaria passeggiata lungo il Royal Canal, Hamilton si sarebbe reso conto che il problema andava riformulato per le quaterne di numeri reali. Il 16.10.1843 rappresenta quindi la data di nascita dei quaternioni, sistema numerico che amplia il campo dei numeri complessi, sacrificando l'assioma della commutatività per la moltiplicazione ma preservandone l'associatività. I quaternioni si imposero ben presto come un preziosissimo strumento in mano ai matematici: grazie ad essi, è ad esempio possibile fornire una dimostrazione sorprendentemente concisa del teorema dei quattro quadrati ("ogni numero naturale è esprimibile come somma di quattro quadrati di numeri interi"). 

Ma Hamilton non avrebbe mai immaginato che la sua geniale intuizione avrebbe avuto le sue applicazioni più spettacolari nell'industria dell'entertainment. In effetti, immergendo lo spazio tridimensionale all'interno dell'algebra dei quaternioni è possibile sfruttare le proprietà di questi ultimi per descrivere in un modo elegante e soprattutto efficiente le rotazioni attorno ad un asse, e quindi anche per cambiare in modo fluido il punto di vista in un videogame. Pionieri in questo senso sono probabilmente stati gli autori del primo Tomb Raider, che dal 1996 si avvalgono dell'algebra sviluppata da Hamilton per rappresentare le evoluzioni della procace Lara Croft.