Broom Bridge

Giusto prima di riconsegnare l'automobile al termine del nostro "tour" irlandese, mi sono recato in pellegrinaggio in uno dei luoghi "mitici" della matematica, il Broom Bridge alla periferia di Dublino. Location piuttosto squallida, a dire la verità: un ripido e stretto ponticello, ricoperto di graffiti, incastrato tra capannoni industriali, una linea ferroviaria e un canale maleodorante. Ma è qui che, secondo la leggenda, Sir William Rowan Hamilton scarabocchiò, il 16 ottobre del 1843, le relazioni che definiscono la moltiplicazione dei quaternioni. Relazioni riprodotte su una targa posta qualche decennio fa proprio sotto il ponte (e di recente ricollocata in alto, al sicuro dai vandali e dai graffittari). 

Tra l'altro, qualche ora dopo mi sono ritrovato, di fronte al busto di Hamilton posto all'interno della libreria del Trinity College, ad ascoltare la narrazione della vita di Hamilton e del ruolo dei quaternioni nello sbarco lunare (un po' romanzato, forse) ad opera di una simpatica guida locale.

Sláinte!

Al termine di un "tour" attraverso l'Irlanda, ho visitato la Guinness Storehouse a Dublino. Visita magnificata dalle guide ma che - salvo la splendida vista sulla città - ho trovato tutt'altro che indimenticabile. Gironzolando per i piani dell'esposizione ho però scoperto che la matematica ha messo lo zampino anche qui, visto che l'idea di aggiungere azoto al CO2 nella spillatura, che conferisce alla birra scura irlandese la caratteristica cremosità, si deve a Michael Ash, matematico,  alunno del Trinity College dublinese.

Due libri un po' "leggeri"

Nei mesi scorsi, tra le altre cose, ho letto due libri divulgativi destinati al grande pubblico, entrambi di autore toscano. Li ho poi abbandonati sulla scrivania, nell'attesa di scriverne su questo blog. E, come d'abitudine, ora è passato del tempo, e non sono più in grado di recensirli come meriterebbero. Mi accontento quindi di qualche considerazione breve breve. 

• Lorenzo Baglioni (sì, quello del Congiuntivo, nessun legame di parentela con Claudio), È tutto calcolato. Il giovane Baglioni, che la matematica l'ha studiata e l'ha insegnata, replica per iscritto lo stile che ha già messo in mostra nei suoi video (uno su tutti, Il teorema di Ruffini in versione rap). L'opera manca, coscientemente e dichiaratamente, di rigore in molti punti (non è una pecca in questo caso), ma tutto sommato la matematica regge, anche se gli esempi scelti risultano a volte un po' forzati. D'altronde, il fatto che sia uscito nella Biblioteca Umoristica Mondadori ci fa capire che lo scopo può sì essere quello di spiegarci un po' di matematica in un modo non convenzionale, ma anche quello di prendersi un po' gioco dei linguaggi e delle mode adolescenziali.
• Marco Malvaldi (sì, quello del BarLume), Le due teste del tiranno. Malvaldi, che di formazione è chimico ma di matematica un po' ne sa, con il suo consueto tono scanzonato ci propone un'opera godibilissima, istruttiva e mai banale, che si legge tutto d'un fiato. La scelta degli argomenti è azzeccata, dai sistemi numerici alla matematica elettorale, passando per le equazioni algebriche e la crittologia. Da consigliare a chi se ne esce sempre con espressioni tipo "io la matematica l'ho sempre odiata" e "non ci ho mai capito nulla", magari regalandogliene una copia a tradimento (sempre che poi abbia voglia di leggersela...).

Seven Stars vs. Infinity

Nella storia che fa da appendice alla nuova (e ultima?) miniserie dedicata alla League of Extraordinary Gentlemen (qualcuno ricorderà il brutto film di qualche anno fa), un pastiche dedicato ad alcuni oscuri personaggi della golden age britannica, Alan Moore, il "bardo di Northampton", mostra ancora una volta di non essere del tutto a digiuno di matematica (come già aveva fatto qui e qui). In particolare, immagina uno sconclusionato dialogo tra i suoi eroi e l'Infinito, a cui viene impartita una lezione infarcita di riferimenti alle teorie di Georg Cantor e alle trovate di David Hilbert.

"Opzione complementare"

Dopo qualche anno di pausa, riprovo a proporre un'Opzione complementare sulle applicazioni della matematica. Gli ultimi tentativi sono stati infruttuosi (di fatto, non è più stato possibile organizzarla dopo l'introduzione dell'Informatica come corso opzionale, quindi dal lontano 2010). vedremo come va...

Deep field e sezione aurea

Deep Field è una monumentale composizione del pluripremiato musicista statunitense Eric Whitacre, dedicata ai successi del telescopio spaziale Hubble, e in particolare alle immagini Ultra Deep Field di galassie distanti miliardi di anni luce da noi (che rivelano, quindi, il loro aspetto in epoche prossime al big bang). Fa il suo effetto, specie se affiancata al video concepito dallo stesso Whitacre, che gioca con le immagini di Hubble per condurci attraverso l'impossibile magnitudine del nostro universo.

Atteggiamenti da rockstar a parte, Whitacre sembra un personaggio interessante. Nel video che segue illustra l'uso consapevole della sezione aurea nelle sue composizioni, dove spesso i passaggi più significativi sono situati temporalmente proprio tenendo conto di essa.

Mathflix

Sì, lo ammetto. Da qualche parte dentro di me ha trovato rifugio un nerd (o forse un geek) che non se ne vuole più andare.

Un altro traguardo...

Trecento è un bel numero. A parte il fumetto di Frank Miller (e il relativo film), si tratta del ventiquattresimo numero triangolare, della somma di due primi gemelli e di 10 primi consecutivi (grazie Wikipedia).

Matematica e politica

Ci risiamo. Dopo mesi interminabili di dibattiti fiacchi, caratterizzati più dai toni che dai contenuti (il vuoto pneumatico), domenica si chiuderanno le urne per le elezioni del Consiglio di Stato (l'esecutivo cantonale, 5 seggi) e del Gran consiglio (il legislativo, 90 poltrone). Si tratta delle prime elezioni dall'introduzione della Civica come disciplina a sé stante nelle scuole cantonali, e mi sono chiesto in che modo anche un docente di matematica potrebbe dare il suo contributo in questo senso, magari in modo non banale. Ad esempio, ho l'impressione (o la certezza) che la maggior parte degli elettori (anche tra i più accaniti difensori di tutte le possibili prerogative cantonticinesi) sia del tutto all'oscuro dei meccanismi che, alla chiusura delle urne, determinano la distribuzione finale dei seggi. Per prepararmi adeguatamente, ho pure letto un libro che stazionava da mesi sulla mia wish list di Amazon, La matematica della democrazia, del matematico e collaboratore della NZZ George Szpiro.

Per quanto riguarda il Consiglio di stato, viene impiegato il cosiddetto metodo Hagenbach-Bischoff (proposto dal matematico e fisico Eduard Hagenbach-Bischoff), un algoritmo che traduce in pratica il metodo D'Hondt,  in accordo con i principi della "formula Cattori" votata dai ticinesi nel 1922: chi non ha la maggioranza del popolo non può averla in Consiglio di Stato. Esso è codificato nella legge elettorale nel modo seguente:

Art. 80 1. Per l’elezione del Consiglio di Stato la ripartizione dei seggi fra i gruppi si effettua in base al quoziente risultante dalla divisione della somma dei voti validi ottenuti dai singoli gruppi per il numero dei seggi da assegnare aumentati di uno.


2. Ad ogni gruppo sono assegnati tanti seggi quante volte il quoziente è contenuto nel totale dei suoi voti.


3. I seggi restanti sono ripartiti dividendo il numero dei voti ottenuti da ogni gruppo per quello dei seggi già assegnatigli aumentato di uno, ritenuto:

   a)  che al gruppo che ottiene il maggior quoziente è assegnato un ulteriore seggio;

   b)  che l’operazione va ripetuta fino alla ripartizione di tutti i seggi. 


4. In caso di parità delle frazioni, la precedenza è data al gruppo maggiore; se i gruppi con pari frazioni hanno anche pari voti, decide la sorte. 

In realtà, i passaggi 1. e 2. sono ininfluenti ai fini della distribuzione dei seggi; rappresentano una scorciatoia che evita di dover ripetere la procedura 3. per cinque volte (dividendo per 6 si "filtrano" quei seggi che sarebbero inevitabilmente assegnati anche dopo il quoziente con il divisore più alto). Il metodo, tutt'altro che originale (più che a Hagenbach-Bischoff e D'Hondt, l'idea risale a Thomas Jefferson), può apparire cervellotico, ma garantisce una ripartizione piuttosto equa dei seggi, facendo in modo che ad ogni passo i candidati scelti abbiano dietro di sé il maggior numero di elettori possibili.

Tornando alle nostre elezioni, quelle imminenti si profilano apparentemente come le più "tirate" da un po' di tempo a questa parte. Ma io non ci credo. Non cambierà nulla (e non si tratta forzatamente di un male), come d'altronde sembrano indicare tutti i sondaggi. Come si suol dire da queste parti, avremo un governo-fotocopia. Consoliderà la sua posizione il fronte populista, che blinda i due seggi dopo essersi assicurato l'appoggio del fronte-ancora-più-populista, confermando quanto sia vincente la tattica bifronte di stare contemporaneamente in governo e all'opposizione, da un lato con due ministri incravattati a garantire una patina di rispettabilità, e dall'altro vomitando insulti di bassa Lega dalle colonne di un domenicale ad amplissima diffusione, dai toni che vanno ben oltre la tollerabile ironia, debordando in un'insopportabile volgarità. E del suo pendant online, comunque più pacato, da cui, incomprensibilmente, si affacciano con coerenza cristallina anche candidati di altri schieramenti.

Il seggio teoricamente più a rischio è quello della sinistra. Ma qui, forse, gioverà l'assist involontario dell'eminenza grigia dei populisti, che si è spinto a sbeffeggiare l'attuale ministro socialista per la sua cecità (!!!), e le cui scuse non sono state certo accettate da tutti. Dovrà quindi mettersi il cuore in pace l'ex "partitone" che, nonostante il rinnovato interesse (strumentale?) per le questioni scolastiche, non riuscirà nemmeno stavolta a riacciuffare il secondo seggio. Ma magari mi sbaglio, e fra qualche settimana la scuola verrà nuovamente amministrata da un membro del partito che più ha legato le sue sorti ad essa, a partire dal padre della popolare educazione. Vedremo con che risultati.

Somme non trascendenti

Confesso che non avevo mai notato che, in base 10,
$$
\log 5 + \log 2 = 1 \quad. $$

Me ne sono accorto, in modo assolutamente fortuito, leggendo una scheda di esercizi di un collega (grazie Paolo!), e inizialmente non avevo nemmeno capito perché tale relazione mi avesse colpito. Ora lo so: è un esempio, non artificiale, di una somma di numeri trascendenti con risultato algebrico (solitamente si portano esempi, come $\pi$ e $1-\pi$, che puzzano un po' di imbroglio...).

La trascendenza dei logaritmi è una questione tutt'altro che banale; essa segue, ad esempio, da un risultato clamoroso della teoria dei numeri della prima metà del novecento, il Teorema di Gelfond-Schneider: se $a$ e $b$ sono numeri algebrici, con $a\not\in\{0,1\}$ e $b\not\in\mathbb Q$, allora $a^b$ è trascendente. Infatti, supponendo ad esempio che $\log 2$ sia algebrico, da $10^{\log 2}=2$ si ricava immediatamente una contraddizione (l'irrazionalità di $\log 2$ può facilmente essere dimostrata per contraddizione, con un uso interessante del teorema fondamentale dell'aritmetica).

La musica è finita?

Vi sarà già capitato: ascoltate un brano, magari appena uscito, e improvvisamente un passaggio vi suona familiare. L'ultima volta mi è successo con il brano sanremese di Arisa, il cui ritornello non può non richiamare un celebre brano gucciniano. Ma la storia della musica è costellata da omaggi, richiami o veri e propri plagi, dall'ubiquità del Canone, all'uso consepevole del Rondò di Muzio Clementi, fino ai veri e propri plagi perpetrati da Ray Parker Jr. ai danni di Huey Lewis o dall'Innominabile (dopo il documentario HBO) ai danni della ex coppia d'oro. D'altronde, già una quarantina di anni fa Frank Zappa affermava che All the good music has already been written by people with wigs and stuff. 

A pensarci bene, le note sono soltanto sette (o, meglio 12), e quindi potrebbe sembrare plausibile che prima o poi le melodie si esauriranno. Si tratta, in fondo, di un problema combinatorio, ed è quindi inevitabile che qualche matematico un po' mattacchione ci abbia già pensato.

Nel video che segue il celebre youtuber Michael Stevens, il creatore di Vsauce, si sofferma proprio su tale questione. Dapprima illustra qualche calcolo sul numero dei possibili brani digitalizzati (concludendo che non li esauriremo mai), poi cita alcuni lavori che hanno studiato il problema su brani di lunghezza limitata (come questo), e anche in questo caso il conteggio propone numeri astronomici. Ma la parte più interessante del video è, secondo me, quella sull'uso del common metre (8/6/8/6) in musica, che ci permette ad esempio di cantare Amazing Grace sulle note di House of the rising sun, e che inevitabilmente ci farà provare una sorta di déja-entendu ogniqualvolta sentiremo un brano con una scansione simile. 

Pitagora mod 5

L'altra mattina, mentre mi annoiavo sorvegliando una prova scritta, sfogliavo distrattamente una copia degli Elementi d'aritmetica di Giovanni Novi, reperita per caso due settimane fa su una bancarella della fiera del libro usato di Piazza Diaz. Un esercizio al termine del capitolo dedicato ai quadrati e alle relative radici ha attirato la mia attenzione (facendomi probabilmente perdere il controllo sulle attività illecite degli studenti, non sarebbe la prima volta...).

Cioè: ogni terna pitagorica contiene almeno un multiplo di 5 (in realtà vale anche per 4 e per 3, ma l'affermazione sembra meno spettacolare). Confesso che non ci avevo mai fatto caso, ma una rapida occhiata ad un elenco di terne (ad esempio qui) sembra rendere plausibile questo fatto.

Con l'aiuto dell'aritmentica modulare non è difficile dimostrare l'affermazione: essenzialmente, dal momento che i resti della divisione per 5 dei quadrati perfetti sono soltanto 0, 1 e 4, modulo 5 le terne pitagoriche (a,b,c) possono essere soltanto quattro: quelle corrispondenti alla somma dei quadrati  0+0=0 (terne non primitive), a 0+1=1 (come (20,21,29)), a 0+4=4 (come (5,12,13)) e a 1+4=0 (come (4,3,5)). In tutti questi casi, quindi, uno dei membri della terna risulta divisibile per 5, dal momento che i divisori primi di un numero e del suo quadrato sono gli stessi.

In rete le informazioni su Giovanni Novi sono piuttosto scarse, anche perché la prematura scomparsa gli impedì di mettere a frutto tutto il suo talento matematico (si spense a soli quarant'anni, poco dopo aver assunto la cattedra di Algebra all'università di Pisa). Qualche notizia biografica è contenuta in questo lavoro, dedicato alla corrispondenza tra Novi e il più noto Enrico Betti, suo predecessore a Pisa. 

When I Heard the Learn'd Astronomer

di Walt Whitman (1819-1892)
da Leaves of Grass

When I heard the learn’d astronomer,
When the proofs, the figures, were ranged in columns before me,
When I was shown the charts and diagrams, to add, divide,
    and measure them,
When I sitting heard the astronomer where he lectured
    with much applause in the lecture-room,
How soon unaccountable I became tired and sick,
Till rising and gliding out I wander’d off by myself,
In the mystical moist night-air, and from time to time,
Look’d up in perfect silence at the stars.

Ho da poco terminato Breaking Bad...

Di recente sono stato...

... all'Hangar Pirelli, a visitare la mostra degli igloo di Mario Merz, capolavori dell'arte povera in cui la successione di Fibonacci (in versione neon, come di consueto) la fa da padrone. Certo, si tratta di opere di non facile digestione, ma ne vale la pena, anche per perdersi negli enormi spazi espositivi (da vedere assolutamente, nell'hangar adiacente, i palazzi celesti di Anselm Kiefer).

Ho letto ancora due libri...

... di Ian Stewart. Sono Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo e I numeri uno, usciti rispettivamente nel 2012 e nel 2017. Rappresentano, come questo, differenti punti di vista sulla storia della matematica. Il primo ci presenta quelle che per l'autore sono le 17 relazioni numeriche o algebriche più rilevanti, dal Teorema di Pitagora all'Equazione di Black-Scholes, passando attraverso un paio di formule euleriane e le Equazioni di Maxwell. Il secondo, invece, ci parla di 25 grandi figure di matematici, da Archimede di Siracusa a William Thurston, senza dimenticare altri "numi" quali Euler, Galois o Gödel. Solo tre dei 25 capitoli sono dedicati a figure femminili (Ada Lovelace, Sofia Kovalevskaja e Emmy Noether), qualcuna in più si sarebbe potuta aggiungere, forse (ma, tra le prime che mi vengono in mente, di Ipazia di Alessandria si sa veramente poco, e Maria Gaetana Agnesi o Julia Robinson forse non hanno avuto dal punto di vista della matematica un ruolo paragonabile a quello delle tre citate). 

Purtroppo ho sbocconcellato i due volumi sull'arco di più mesi, e quindi non sono più in grado di darne una descrizione adeguata. Ma forse non è necessario: si tratta di opere di divulgazione di altissimo livello, di cui mi sento di consigliare senza riserve la lettura.