$$
\log 5 + \log 2 = 1 \quad. $$
Me ne sono accorto, in modo assolutamente fortuito, leggendo una scheda di esercizi di un collega (grazie Paolo!), e inizialmente non avevo nemmeno capito perché tale relazione mi avesse colpito. Ora lo so: è un esempio, non artificiale, di una somma di numeri trascendenti con risultato algebrico (solitamente si portano esempi, come $\pi$ e $1-\pi$, che puzzano un po' di imbroglio...).
La trascendenza dei logaritmi è una questione tutt'altro che banale; essa segue, ad esempio, da un risultato clamoroso della teoria dei numeri della prima metà del novecento, il Teorema di Gelfond-Schneider: se $a$ e $b$ sono numeri algebrici, con $a\not\in\{0,1\}$ e $b\not\in\mathbb Q$, allora $a^b$ è trascendente. Infatti, supponendo ad esempio che $\log 2$ sia algebrico, da $10^{\log 2}=2$ si ricava immediatamente una contraddizione (l'irrazionalità di $\log 2$ può facilmente essere dimostrata per contraddizione, con un uso interessante del teorema fondamentale dell'aritmetica).
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