Moltiplicazioni...

Quanto fa $9 \cdot 2$ ? Facile: basta esporre le dieci dita, piegando il secondo...

Funziona anche con $9 \cdot 7$; basta piegare il settimo dito:

Ho imparato questo trucchetto durante una conferenza di Albrecht Beutelspacher, vero e proprio maestro nel fare matematica "con le mani" (vedi anche qui). Alla base c'è la semplice uguaglianza

$$
9n = 10(n-1)+(10-n) $$
da cui segue che per $n=1, \ldots, 9$ le cifre di $9n$ sono $n-1$ e $10-n$.
Non male. E dalla relazione
$$
(b-1)n = b(n-1) + (b-n) = [n-1,b-n]_b
$$

(cioè: le cifre di $(b-1)n$ in base $b$ sono $n-1$ e $b-n$) segue che il trucco si generalizza alla moltiplicazione per $b-1$ in base $b$. Ad esempio, in base 5 i primi multipli di $4$ sono $04$, $13$, $22$, $31$ e $40$:

 

Tatata-tata-ta-tata-

Steve Reich, certamente tra i più influenti compositori della seconda metà del '900, è uno dei pionieri del cosiddetto minimalismo, corrente musicale caratterizzata dall'uso di risorse limitate. E cosa c'è di più minimalista di un battimani alternato? L'idea sembrerebbe abbastanza bislacca, ma l'effetto è tutt'altro che banale. Il brano Clapping Music, concepito da Reich nel 1972, si basa sul progressivo sfasamento della sequenza

composta da otto battiti e quattro pause. Essenzialmente si tratta di una versione "discreta" degli sfasamenti (phasings) caratteristici della musica di Reich (ad esempio nel celebre Piano phase). 

Eccone una versione eseguita da David Hockings a Toby Kearney, percussionisti della London Sinfonietta, orchestra da camera specializzata nell'esecuzione di musica classica contemporanea (che ha pure curato un'app dedicata a chi vuole cimentarsi nell'esecuzione del brano).

E la matematica? Beh, c'entra pure qui. Joel K. Haack, professore alla University of Northern Iowa, ha investigato da un punto di vista combinatorio il brano di Reich, discutendone le peculiarità dal punto di vista dell'algebra elementare (in particolare considerando l'azione del gruppo simmetrico) e proponendone una variazione che eleva da 12 a 60 le trasformazioni necessarie affinché lo schema iniziale si ripeta. L'articolo originale, pubblicato nell'ambito della conferenza Bridges, è qui. Una trattazione dell'argomento da un punto di vista maggiormente didattico, sempra a cura di Haack, si può invece trovare qui.

Geometrie Dantesche

La Commedia abbonda di riferimenti alla matematica e alla geometria: la cosa non può certo stupire, dal momento che la summa della cultura medioevale non poteva certo fare a meno di due delle arti liberali del quadrivium. Nel Paradiso, in particolare, Dante ha fatto efficacemente uso in più di un'occasione di similitudini geometriche, dal non capere in un triangol due ottusi (Par. XVII, 15) al geomètra che tutto s'affige (Par. XIII, 135). Ma è ad un (presunto) uso ben più profondo della geometria da parte dell'Alighieri che fa riferimento un celebre articolo pubblicato nel 1979 sull'American Journal of Physics dal fisico e matematico Mark Peterson, dall'evocativo titolo Dante and the 3-sphere (si può scaricare qui). L'ipotesi di Peterson è quantomeno affascinante: le descrizioni che Dante fa dell'universo rimanderebbero alla struttura di una 3-sfera (cioè l'analogo della superficie sferica nello spazio quadridimensionale). In ciò, il Poeta anticiperebbe di 600 anni nientepopodimeno che Albert Einstein nell'utilizzo delle geometrie non-euclidee in ambito cosmologico. Per supportare la sua tesi, Peterson fa uso di tre descrizioni "moderne" della 3-sfera che troverebbero riscontro nella Commedia, in particolare nel canto XXVIII: come luogo dei punti equidistanti da un centro (in uno spazio 4-dimensionale), come sospensione della 2-sfera e come incollamento di 2 coni lungo una 2-sfera.

L'idea di Peterson è ripresa nel volume Arts meets Mathematics in the Fourth Dimension, di Stephen Lipscomb; il capitolo in questione è scaricabile qui.

Cantieri aperti - 2

Se i progressi per quanto riguarda l'Ipotesi di Riemann non paiono confortanti, le cose non sembrano andare molto meglio nemmeno nell'altro grande cantiere aperto della teoria dei numeri, quello relativo alla Congettura abc. Sono trascorsi oramai più di tre anni (vedi anche qui) dalla (pre-)pubblicazione dei quattro lavori intitolati collettivamente Inter-Universal Teichmüller Theory da parte di Shinichi Mochizuki che, nelle promesse dell'autore, avrebbero dovuto dare il responso definitivo, ma fino ad ora la comunità matematica non è ancora parsa in grado di cavarci il proverbiale ragno dal buco (come riportato ad esempio il 7 ottobre da Scientific American), complice anche lo strano atteggiamento dello stesso Mochizuki, reticente a parlare delle sue scoperte al di fuori del Giappone. Emblematica è una sua dichiarazione a proposito del suo lavoro: egli considererebbe la percezione delle sue teorie all'interno della comunità matematica una sorta di miniatura della percezione della matematica pura all'interno della società umana (atteggiamento un po' paranoico?).

A smuovere un po' le acque ha però forse finalmente contribuito un recentissimo workshop organizzato dalla Fondazione Clay, che ha avuto luogo all'Università di Oxford tra il 7 e l'11 dicembre scorsi. Alla presenza di numerosi esperti di geometria aritmetica, fra cui Gerd Faltings, Medaglia Fields 1986 e mentore di Mochizuki (quest'ultimo è intervenuto solo tramite Skype) e Andrew Wiles, "quello del Teorema di Fermat", una serie di seminari ha cercato di gettare luce su alcuni degli aspetti delle intricatissime invenzioni del matematico giapponese. Come riportato da Quanta e ancora da Scientific American, però, le cose non sono andate come tutti speravano: dopo una serie di promettenti interventi introduttivi (in particolare ad opera di Kiran Kedlaya), le relazioni dei ricercatori più vicini a Mochizuki sono risultate piuttosto indigeste a tutti i presenti (come testimonia nel suo blog Felipe Voloch, che parla apertamente di farsa). Per alcuni il motivo va ricercato nell'approccio culturalmente differente ai seminari, tradizionalmente più tecnico in Giappone. Fatto sta che i ricercatori presenti si sono visti travolgere da una quantità di nuove definizioni e concetti creati ad hoc, quando si sarebbero aspettati piuttosto un'introduzione più generale alle strategie impiegate per attaccare abc.

In ogni caso la verifica di un risultato di tale portata richiederà anni di lavoro. I ricercatori presenti a Oxford si sono dati appuntamento per un nuovo workshop che si terrà a Kyoto nel luglio 2016. Sei mesi di tempo non sono molti, ma permetteranno certamente a qualcuno di loro di mettere maggiormente a fuoco la questione.

È andata...

Andata bene? Andata male? Boh, francamente durante la mia metà del seminario ho vissuto una sorta di trance, che probabilmente mi ha permesso di parlare senza troppi timori reverenziali nei confronti di chi mi ascoltava (come credo di aver detto in apertura, erano 25 anni - un quarto di secolo - che non mi capitava di parlare di Dante con degli esperti di letteratura italiana). Fatto sta che il tanto temuto 4 dicembre è passato, e l'esperienza è stata meno traumatica del previsto. E qualche riscontro positivo (da parte di colleghi più che autorevoli!) l'ho pure avuto, spero non solo per amicizia.

A mo' di "copertina di Linus", l'intervento me l'ero già portato bell'e pronto. Alla peggio, avrei potuto leggerlo (ma non credo di averlo fatto). Eccolo qui; un'avvertenza, però, per chi volesse darci un'occhiata: si tratta di un abbozzo, scritto sotto forma di discorso, e quindi ben lontano dagli standard minimi richiesti per qualsiasi forma di pubblicazione "seria".