Moltiplicazioni...

Quanto fa $9 \cdot 2$ ? Facile: basta esporre le dieci dita, piegando il secondo...

Funziona anche con $9 \cdot 7$; basta piegare il settimo dito:

Ho imparato questo trucchetto durante una conferenza di Albrecht Beutelspacher, vero e proprio maestro nel fare matematica "con le mani" (vedi anche qui). Alla base c'è la semplice uguaglianza

$$
9n = 10(n-1)+(10-n) $$
da cui segue che per $n=1, \ldots, 9$ le cifre di $9n$ sono $n-1$ e $10-n$.
Non male. E dalla relazione
$$
(b-1)n = b(n-1) + (b-n) = [n-1,b-n]_b
$$

(cioè: le cifre di $(b-1)n$ in base $b$ sono $n-1$ e $b-n$) segue che il trucco si generalizza alla moltiplicazione per $b-1$ in base $b$. Ad esempio, in base 5 i primi multipli di $4$ sono $04$, $13$, $22$, $31$ e $40$:

 

Matematica... con le mani

La prima volta che ebbi modo di assistere ad una conferenza di Albrecht Beutelspacher (una dozzina d'anni fa, in occasione di un Mathematisches Colloquium all'università di Zurigo) tornai a casa con un modello per la realizzazione di un icosaedro troncato (un pallone da calcio, insomma), che realizzai il giorno appresso e che per un po' fece bella mostra di sé sulla mia scrivania al Politecnico. Qualche anno dopo rividi il matematico tedesco (ed ebbi anche il piacere di sedere a tavola con lui) ad Ascona, nell'ambito di un Workshop sull'insegnamento della matematica, in occasione del quale non mancò di deliziare la platea improvvisando con un semplice foglio di carta uno dei suoi celebri "giochini".

Come mostrano anche i filmati da lui realizzati per la televisione tedesca (vedi qui), Beutelspacher è un vero maestro nella visualizzazione dei concetti matematici, ed è proprio questo il tema del suo saggio Piega e spiega la matematica, scritto a quattro mani con Markus Wagner e uscito in italiano un paio d'anni fa da Ponte alle Grazie. Il libro contiene tutta una serie di suggerimenti per esplorare in modo costruttivo la matematica: figure piane, curve, simmetrie, solidi, semplici relazioni numeriche e codici segreti sono gli ingredienti delle esperienze che i due autori ci propongono, impiegando materiali molto semplici e mantenendo il livello di approfondimento accessibile anche ad un pubblico molto giovane.

Tra l'altro, se qualcuno volesse costruirsi l'icosaedero troncato, il modello è disponibile qui, in coda ad un breve saggio di carattere didattico pubblicato da Beutelspacher assieme ad una sua collaboratrice, Susanne Prediger.

Beutelspacher... live

Albrecht Beutelspacher, l'autore del libro di cui ho parlato giusto ieri, è molto noto in Germania anche per le sue apparizioni televisive (dove, al contrario di qualcun altro, si limita a parlare della sua disciplina). In particolare, ha presentato sul canale educativo bavarese BR-alpha la trasmissione Mathematik zum Anfassen, composta da 28 brevi episodi di carattere divulgativo. Eccone un esempio, dedicato alla bellezza in ambito matematico:

F.A.Q. (ancora stuzzichini)

Dopo Le meraviglie della matematica e Matematica da tasca il "divulgatore entusiasta e instancabile" Albrecht Beutelspacher ripropone la formula degli "stuzzichini" con Matematica: tutto quello che avreste voluto sapere, anch'esso pubblicato in edizione italiana da Ponte alle Grazie. Stavolta la forma è quella delle Frequently Asked Questions: i 101 brevissimi capitoli del libro sono proposti come domanda/risposta. Le domande spaziano da Cos'è la matematica? a Perché la matematica è così astratta?, da Che cos'è un googol? a Quanto varrebbe oggi un euro depositato in banca ai tempi di Cristo?, da La matematica è una scienza bellica? a Perché i matematici non sanno fare i calcoli?, da Perché meno per meno fa più? a È possibile dimostrare l'esistenza di Dio?. Le risposte, magari a volte un po' sbrigative e ridondanti ma mai banali, sono redatte nel consueto ed efficace stile beutelspacheriano, tra il finto-ingenuo e l'ironico, sempre in bilico tra il rigoroso e l'informale. Mi permetto di citare per esteso soltanto due perle: la prima, che conclude la risposta a I matematici necessitano di intuito e fantasia? è la frase con cui David Hilbert liquidò un ex assistente divenuto poeta: "tanto, per la matematica non aveva abbastanza fantasia". La seconda è un "buon" problema, proposto al Bundeswettbewerb Mathematik nel 2008: "Con dei fiammiferi di uguale lunghezza, Fritz ha formato i lati di un parallelogramma, nelle cui diagonali trovano posto esattamente 7 e 9 fiammiferi. Di quanti fiammiferi si compone il perimetro del parallelogramma?"

Altri stuzzichini

Le meraviglie della matematica è il titolo del più recente libro pubblicato in italiano del bravo divulgatore tedesco Albrecht Beutelspacher (ho già parlato di lui in un paio di occasioni). L'opera è, più o meno, una ideale continuazione del suo Matematica da tasca: brevi interventi su un tema molto specifico, con spiegazioni ridotte all'osso. Si tratta di 66 articoli precedentemente pubblicati sul periodico Bild der Wissenschaft (alcuni di essi, ovviamente in tedesco,  sono consultabili online sul sito della rivista - basta inserire la parola chiave beutelspacher nel motore interno di ricerca). Le spiegazioni sono volutamente prive di formule e formalismi (ma ciò non è sempre un bene - la sinteticità della formule a volte può anche andare a vantaggio della comprensibilità), e lo spettro degli argomenti trattati è veramente ampio, spaziando ad esempio dalle proprietà dei numeri alla geometria di alcuni oggetti di uso comune (come palloni da calcio, antenne paraboliche o collane), sempre nello stile finto-ingenuo che sembra essere una caratteristica costante nelle opere di Beutelspacher. Si tratta, comunque, di un altro encomiabile tentativo di far comprendere ad un vasto pubblico l'importanza di una solida cultura matematica, mostrando come questa sia presente in un'infinità di aspetti della vita quotidiana.

Stuzzichini

Gia, "stuzzichini". È il termine che Albrecht Beutelspacher (ho già parlato di lui) utilizza per descrivere i 51 capitoletti che compongono il suo libro Matematica da tasca - Dall'abaco allo zero (edito in italiano da Ponte alle Grazie). Si tratta di brevi interventi, due o tre pagine al massimo, che in rigoroso ordine alfabetico abbracciano gli argomenti più disparati della materia, senza entrare nei particolari ma fornendo elementi a sufficienza per suscitare una certa curiosità.
Più che di un'opera divulgativa si tratta quindi di una sorta di "dépliant pubblicitario" per la matematica, scritto nella speranza che questo o quel tema possa risvegliare l'interesse del lettore occasionale, invogliandolo magari ad andare alla ricerca di testi più impegnativi o, perché no, ad intraprendere studi matematici.

Spaghetti mathematics

Ho appena finito di leggere un libro acquistato per caso un paio d'anni fa. Si tratta di un volumetto dal curioso titolo Pasta all'infinito (Ponte alle Grazie ne è l'editore). L'autore è Albrecht Beutelspacher, divulgatore molto noto nell'area germanofona nonché direttore del Mathematikum di Giessen, il primo (e unico?) museo interattivo di matematica al mondo. 

Pensando al libro in questione, l'aggettivo che secondo me meglio lo definisce è "simpatico". Si tratta della cronaca di un soggiorno di lavoro svolto dall'autore all'inizio degli anni '80 presso due colleghi all'Universita dell'Aquila. A fare da sottofondo alla vicenda è la ricerca della dimostrazione di un enunciato di geometria elementare (nota: in matematica, "elementare" non è sinonimo di "semplice") che per quasi tutto il libro sfugge ai tre ricercatori, ma in realtà si tratta solo di un pretesto per divagare sul concetto di infinito e su altri temi di matematica (dalla teoria dei codici alla crittologia, al teorema di Fermat, alla sezione aurea), e inoltre sulle differenze di mentalità tra il popolo italiano e il popolo tedesco (anche se la situazione italiana è descritta in un modo forse eccessivamente stereotipato, tant'è vero che, nella sua finta ingenuità,  a volte il narratore sembra più E.T. che nordeuropeo). Il libro permette inoltre di gettare uno sguardo sulla ricerca matematica in un'università di provincia nell'era pre-internet (oggi certe differenze, quali ad esempio la disponibilità immediata di testi di riferimento, si sono di parecchio affievolite).