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domenica 28 maggio 2017

La matematica dei mattoncini

A qualcuno di voi verrebbe mai in mente di riempire la lavatrice di mattoncini Lego "per vedere di nascosto l'effetto che fa"? A me no di certo, ma ad un serio professore dell'Università di Jena, Ingo Althöfer, la cosa dev'essere sembrata interessante, perché su quest'idea ci ha pure scritto un breve paper, dal titolo Random Lego Structures from Lego Bricks and Analog Monte Carlo Procedures, scaricabile qui. Ma Althöfer non è l'unico ad essersi fatto ispirare dai popolari mattoncini per parlare di matematica: in rete si trovano innumerevoli proposte didattiche indirizzate ai più piccini (qui, ad esempio), ma anche lavori più "tosti", come questo The entropy of LEGO, di due autori dal nome pressoché impronunciabile, dove, fra le altre cose, si dimostra che i modi per costruire una torre di sei mattoncini 4x2 (i più classici dei mattoncini) sono esattamente novecentoquindici milioni centotremila settecentosessantacinque.

domenica 17 gennaio 2016

Moltiplicazioni...

Quanto fa $9 \cdot 2$ ? Facile: basta esporre le dieci dita, piegando il secondo...


Funziona anche con $9 \cdot 7$; basta piegare il settimo dito:


Ho imparato questo trucchetto durante una conferenza di Albrecht Beutelspacher, vero e proprio maestro nel fare matematica "con le mani" (vedi anche qui). Alla base c'è la semplice uguaglianza
$$
9n = 10(n-1)+(10-n) $$
da cui segue che per $n=1, \ldots, 9$ le cifre di $9n$ sono $n-1$ e $10-n$.
Non male. E dalla relazione
$$
(b-1)n = b(n-1) + (b-n) = [n-1,b-n]_b
$$
(cioè: le cifre di $(b-1)n$ in base $b$ sono $n-1$ e $b-n$) segue che il trucco si generalizza alla moltiplicazione per $b-1$ in base $b$. Ad esempio, in base 5 i primi multipli di $4$ sono $04$, $13$, $22$, $31$ e $40$:

 

sabato 31 maggio 2014

Curta

Riesce difficile, oggi, immaginare un mondo in cui il calcolo numerico rappresentava un problema. Le calcolatrici tascabili hanno ormai raggiunto livelli di prezzo che ne fanno (ahimè) prodotti usa-e-getta, e il loro uso ha fortemente inibito la nostra capacità di calcolare a mente (la cosa è perticolarmente evidente nei più giovani, che oramai si affidano alla calcolatrice anche per le operazioni più banali). Ma fino ad una quarantina di anni fa la situazione era ben diversa: l'elettronica tascabile era ancora fantascienza, e il più valido ausilio per tecnici e ingegneri era rappresentato dal regolo o dalla sua controparte discreta, la tavola logaritmica (argomenti interessanti, cui dovrò prima o poi dedicare un post). L'alternativa, tutt'altro che economica, era rappresentata dalle calcolatrici meccaniche, oggetti solitamente ingombranti e poco pratici, discendenti più o meno diretti delle invenzioni di Leibnitz e Pascal. La più notevole e raffinata di esse fu probabilmente la Curta, lanciata sul mercato nel 1948 e prodotta fino al 1972. Ho avuto modo di provarne una di persona (l'ho rinvenuta a scuola, dimenticata su uno scaffale); inserita in un solido cilindro di metallo, il suo aspetto è quello di una sorta di macinino, attorniato da una serie di levette e sormontato da una manovella che ne mette in moto i precisi meccanismi. Grazie ad un ingegnoso sistema di riporti essa è in grado di eseguire le "quattro operazioni" in modo abbastanza agevole. La sua maneggevolezza, la sua robustezza e la sua affidabilità la resero popolare nel mondo dei rally anche oltre l'avvento delle calcolatrici elettroniche, perché il navigatore la poteva maneggiare senza staccare gli occhi dalla strada.
Oltre che per i suoi aspetti tecnici, la Curta è interessante anche per la sua peculiare storia: il suo inventore, l'austriaco Curt Herzstark, fu imprigionato a Buchenwald a causa delle origini ebraiche della madre, ma i suoi aguzzini gli permisero di continuare a lavorare sul progetto nella speranza di farne dono al führer. Fortunatamente ciò non avvenne: l'esercito statunitense liberò il lager, a Weimar Herzstark riuscì a farsi assemblare un prototipo della macchina e dal principe del Liechtenstein riuscì ad avere l'appoggio finanziario per produrla in serie. Ovviamente, l'avvento dell'elettronica a basso costo ne decretò il rapido declino. Oggi la Curta è un vero e proprio oggetto da collezionisti; su eBay è possibile reperirne qualcuna, ma non senza spendere parecchio. 
Per chi volesse approfondire l'argomento, in rete si trovano parecchie informazioni a proposito della macchina di Herzstark: nel 2004, su Scientific American, l'astronomo Cliff Stoll gli ha dedicato un interessante articolo (qui è possibile, almeno al momento, scaricare l'intero numero, qui il solo articolo); moltissime informazioni tecniche sono reperibili qui (all'interno del sito vcalc.net, dedicato alle calcolatrici elettroniche e non); qui sono raccolti alcuni manuali; questa è un'intervista a Herzstark. Qui, invece, è possibile simulare l'uso della macchina.

sabato 8 giugno 2013

Doomsday+2


È del 2011 un'ulteriore "semplificazione" della formula $$y=\left(x+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor\right)\bmod7$$ ad opera di Chamberlain Fong e Michael K. Walters (vedi qui e, soprattutto, qui). Si tratta di $$y=-\left(\frac{x+11\cdot (x\,{\rm mod}\,2)}{2}+11\cdot\left(\frac{x+11\cdot(x\,{\rm mod}\,2)}{2}{\rm mod}\,2\right)\right){\rm mod}\,7\;.$$
Cos'è 'sta roba? Vi chiederete.



Beh, a dispetto della sua apparente imperscrutabilità, questa versione offre alcuni vantaggi: essa permette di calcolare il valore dello spostamento $y$ con una semplice sequenza di passi che richiedono operazioni aritmetiche molto semplici. Vediamone una parafrasi dettagliata:
  • se $x$ è pari, dividi per due; se è dispari, aggiungi 11 e dividi per due;
  • se il risultato ottenuto è pari lascialo invariato, se è dispari aggiungi 11;
  • calcola il resto della divisione per 7;
  • sottrai da 7 quanto ottenuto.

Ad esempio (cfr. con i precedenti post), con $x=71$ iniziamo aggiungendo 11 e dividendo per 2, ottenendo 41, dispari. Aggiungiamo nuovamente 11, ottenendo 52; il resto di 52:7 è 3; sottraiamo 3 da 7, ottenendo 4. Analogamente, da $x=7$ otteniamo 18, dividiamo per 2 ottenendo 9, aggiungiamo 11, il resto di 20:7 è 6, che sottratto da 7 dà 1. Facile, no?

venerdì 7 giugno 2013

Doomsday+1


Apparentemente, dividere per quattro o per sette un numero di taglia moderata non è un'operazione del tutto agevole. Per questo motivo, nel 1973 Conway propose di rimpiazzare la formula$$ y=\left( x + \left\lfloor \frac{x}{4} \right\rfloor \right) \bmod 7 $$ con l'equivalente$$ y=\left( \left\lfloor \frac{x}{12} \right\rfloor + x \bmod 12 + \left\lfloor \frac{x \bmod 12}{4} \right\rfloor \right) \bmod 7 \quad,$$ che richiede la manipolazione di numeri più piccoli. In effetti, i primi due termini della somma sono quoziente e resto della divisione euclidea $x:12$, e il terzo si ricava facilmente dal secondo. Ad esempio (cfr. con il post di ieri), per $x=71=5\cdot12+11$ occorre calcolare $$ \left(5+11+\left\lfloor\frac{11}{4}\right\rfloor\right) \bmod 7 = \underbrace{\left(5+11+2\right) \bmod 7}_{18\,{\rm mod}\,7} =4 $$ e per $x=7=0\cdot12+7$ $$\left(0+7+\left\lfloor\frac{7}{4}\right\rfloor\right) \bmod 7 = \underbrace{(0+7+1)\bmod 7 }_{8\,{\rm mod}\,7}= 1 \;. $$ 

giovedì 6 giugno 2013

Oggi è doomsday


(essenzialmente, un altro post ispirato dal geniale John Conway).

L'altra sera, commentando le performances di un astro nascente del mentalismo (nonché mio ex-allievo), il discorso è caduto sulla sua capacità di azzeccare quasi istantaneamente il giorno della settimana relativo ad una qualsiasi data. In effetti, la facoltà potrebbe sembrare quasi paranormale (e magari un po' lo è, vista la sua velocità nell'eseguire i calcoli, anche se forse il suo metodo si basa su una serie di date memorizzate in precenza), ma in realtà l'esercizio è alla portata di chiunque abbia un minimo di scioltezza nel calcolo mentale.
Il procedimento descritto da Conway negli anni '70 (ma ispirato da altri autori, ad esempio Lewis Carroll) si basa sull'osservazione che alcune date facili da memorizzare (l'ultimo giorno di febbraio, la sequenza 4.4/6.6/8.8/10.10/12.12, le coppie 5.9/9.5 e 7.11/11.7, il 3 gennaio negli anni comuni e il 4 gennaio nei bisestili) cadono sempre nello stesso giorno della settimana. Identificato tale giorno, che Conway battezza con il pittoresco nome di doomsday, non è quindi difficile situare nella settimana una data qualsiasi. Ad esempio, dal momento che il doomsday per l'anno 1971 cade di domenica (vedremo poi perché), procedendo a ritroso dall'8 agosto è facile affermare che il sottoscritto nacque di lunedì (2 agosto).
Il problema si riduce quindi alla determinazione del doomsday per un dato anno; osservando che le date corrispondenti avanzano di un giorno all'interno della settimana ogni anno comune (perché $365=52 \cdot 7+1$) e di due giorni ogni anno bisestile (perché $366=52 \cdot 7+2$) non è difficile convincersi del fatto che la formula
$$ y=\left( x + \left\lfloor \frac{x}{4} \right\rfloor \right) \bmod 7 $$ (dove $\lfloor n \rfloor$ è la parte intera di $n$, cioè la sua approssimazione per difetto, e $n \bmod 7$ è il resto della divisione $n:7$) rappresenta lo spostamento dei doomsdays all'interno della settimana dopo che sono trascorsi $x$ anni. Aggiungendo tale spostamento al doomsday del primo anno del secolo (che Conway chiama anchor day), con $x$ pari al numero di anni trascorsi all'interno del secolo è poi facile ricavare il doomsday per l'anno $x$. Ad esempio, per l'anno 1971 poniamo $x=71$ e calcoliamo $$ \left( 71 + \left\lfloor \frac{71}{4} \right\rfloor \right) \bmod 7 = \left( 71 + 17 \right) \bmod 7 = 88 \bmod 7 = 4 \;. $$ Per il XX secolo (1900-1999) l'anchor day è mercoledì; pertanto il doomsday 1971 cade di "mercoledì più quattro", cioè di domenica. Gli anchor days sono facilmente memorizzabili, ripetendosi ogni quattro secoli (dal momento che il calendario gregoriano ha un ciclo di 400 anni): partendo dal 1900, sono mercoledì-martedì-domenica-venerdì (in breve MeMaDoVe).
Calcoliamo, a mo' di esempio conclusivo, il giorno di nascita di un certo Leonhard Euler (15 aprile 1707): la parte intera di 7:4 è 1, aggiungendolo a 7 otteniamo 8, che diviso per 7 dà resto 1; l'anchor day per il '700 è domenica (MeMaDoVe partendo dal '500), quindi il doomsday 1707 cade di lunedì; il 4 aprile (4.4) è un doomsday, aggiungendo 11=7+4 giorni possiamo quindi affermare che Eulero nacque di venerdì.

giovedì 1 novembre 2012

Forse non tutti sanno che...

... se $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli interni di un triangolo, vale
$$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan \gamma \quad.$$
Ho scovato questa formula (un'applicazione della formula di addizione per la tangente) nella prefazione di Trigonometric Delights di Eli Maor, che ho appena iniziato a leggere. Chissà quante altre delizie mi aspettano all'interno del libro...

Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri reali positivi con $a\cdot b >1$ (la condizione non è minima, ma vabbe') e
$$a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;$$
allora vale
$$a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma$$
dove
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
$$
cioè
 $${\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.$$
Ad esempio, con $a=1$, $b=2$ e $c=3$ (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con $a$, $b$ e $c$ interi) otteniamo
$${\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.$$