... se $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli interni di un triangolo, vale
$$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan \gamma \quad.$$
Ho scovato questa formula (un'applicazione della formula di addizione per la tangente) nella prefazione di Trigonometric Delights di Eli Maor, che ho appena iniziato a leggere. Chissà quante altre delizie mi aspettano all'interno del libro...
Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri reali positivi con $a\cdot b >1$ (la condizione non è minima, ma vabbe') e
$$a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;$$
allora vale
$$a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma$$
dove
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
$$
cioè
$${\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.$$
Ad esempio, con $a=1$, $b=2$ e $c=3$ (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con $a$, $b$ e $c$ interi) otteniamo
$${\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.$$
Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri reali positivi con $a\cdot b >1$ (la condizione non è minima, ma vabbe') e
$$a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;$$
allora vale
$$a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma$$
dove
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
$$
cioè
$${\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.$$
Ad esempio, con $a=1$, $b=2$ e $c=3$ (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con $a$, $b$ e $c$ interi) otteniamo
$${\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.$$
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