... se \alpha, \beta e \gamma sono gli angoli interni di un triangolo, vale
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan \gamma \quad.
Ho scovato questa formula (un'applicazione della formula di addizione per la tangente) nella prefazione di Trigonometric Delights di Eli Maor, che ho appena iniziato a leggere. Chissà quante altre delizie mi aspettano all'interno del libro...
Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano a, b e c tre numeri reali positivi con a\cdot b >1 (la condizione non è minima, ma vabbe') e
a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;
allora vale
a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma
dove
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
cioè
{\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.
Ad esempio, con a=1, b=2 e c=3 (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con a, b e c interi) otteniamo
{\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.
Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano a, b e c tre numeri reali positivi con a\cdot b >1 (la condizione non è minima, ma vabbe') e
a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;
allora vale
a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma
dove
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
cioè
{\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.
Ad esempio, con a=1, b=2 e c=3 (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con a, b e c interi) otteniamo
{\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.
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