Biancaneve e il computer

Il polpettone porno-biografico Il matematico indiano mi aveva quasi convinto a stralciare David Leavitt dal novero degli autori da seguire. Incuriosito dalla comparsa in allegato a Le Scienze di L'uomo che sapeva troppo, ho però deciso di dare un'ulteriore chance all'autore statunitense. Devo ammettere di non esserne rimasto deluso: il libro è una seria biografia di Alan Turing, una delle figure più importanti della scienza del XX secolo, dove Leavitt si sforza anche di entrare in dettagli tecnici tutt'altro che scontati e dove l'omosessualità del protagonista viene trattata con toni garbati e rispettosi. 

Anche se viene considerato un pioniere delle scienze informatiche, Turing fu innanzitutto matematico: da questo punto di vista, il suo risultato più importante fu probabilmente la risposta (ottenuta con metodi differenti, ma quasi in contemporanea, anche da Alonzo Church) al cosiddetto Entscheidungsproblem, una sfida alla comunità matematica lanciata nel 1928 dal "guru" David Hilbert. I metodi teorici sviluppati in quest'ambito si rivelarono tra le intuizioni più feconde della scienza del '900: la cosiddetta macchina di Turing, un costrutto logico/matematico utilizzato dal geniale inglese nelle risoluzione del problema posto da Hilbert, fornì le basi concettuali sulle quali si fonda ancora oggi l'architettura del computer. 

Come crittologo, Turing contribuì poi in modo fondamentale alla risoluzione del secondo conflitto mondiale grazie al suo ruolo nella decifrazione dei codici di Enigma. Ma il servizio reso al paese non lo mise al riparo dall'arresto quando egli, ingenuamente, dichiarò la propria omosessualità (nell'Inghilterra degli anni '50 si trattava ancora di un reato). Le umiliazioni subite, culminate in una sorta di castrazione chimica, condussero Turing a suicidarsi addentando una mela intinta nel cianuro, ispirato forse da una scena del cartoon Biancaneve, il suo lungometraggio preferito.

Uno a zero

Il lavoro di squadra è fondamentale in parecchi ambiti della vita moderna, dagli affari allo sport, dall'arte alla scienza. Non è però facile quantificare l'apporto dei singoli alla performance del team: nel calcio, ad esempio, non è affatto scontato che il ruolo di un fuoriclasse si riveli più importante di quello di un onesto macinatore di chilometri.

Proprio a partire dal calcio un team di biologi, informatici e matematici della Northwestern University di Evanston, Illinois, ha compiuto un interessante tentativo in questo senso (il paper è scaricabile gratuitamente a questo indirizzo): partendo dalle statistiche sulle squadre partecipanti all'Europeo 2008, gli autori associano ad ogni squadra un grafo orientato in cui i nodi rappresentano i giocatori di una squadra e gli archi (pesati) i passaggi tra di essi; completando il grafo con due nodi relativi ai tiri in rete e ai tiri a vuoto sono quindi in grado di quantificare l'apporto dei singoli giocatori alle azioni finalizzate dalla squadra. L'analisi dei dati ricavati permette di concludere che la squadra vincitrice del torneo, la Spagna, risulta essere la migliore anche sul piano teorico.

Ma, e questo è il bello del calcio, l'organizzazione e la complessità del gioco non sono bastate alla Spagna per esordire vittoriosamente nel mondiale. Hopp Schwiiz!

QED #2 - Senza parole

A volte, l'idea centrale della dimostrazione di un teorema può essere trasmessa efficacemente per mezzo di un disegno. È lo scopo che si prefissa Proofs without words di Roger B. Nelsen, che di parole ne contiene ben poche. Il libro contiene una serie di illustrazioni in grande formato che invitano alla riflessione nei campi classici della matematica liceale. Alcune sono ben note (ad esempio quelle relative ad alcune somme numeriche) e convincenti, altre sono (almeno per me) nuove e sorprendenti, anche se in qualche caso l'assenza di commenti ne rende ardua la comprensione. Comunque l'opera ha il pregio di rendere plausibili anche risultati che di primo acchito potrebbero sembrare tutt'altro che chiari. Un esempio: per illustrare la relazione 

("la somma dei primi n cubi è pari al quadrato della somma dei primi n numeri naturali") l'autore ci presenta qualcosa del genere (questa è una mia rielaborazione):

(una volta uno al quadrato più due volte due al quadrato più tre volte tre al quadrato più quattro volte quattro al quadrato e così via...).
Sull'argomento dimostrazioni senza parole Nelsen ha recentemente pubblicato un articolo sullo European Journal of Pure and Applied Matematics, disponibile sul sito della rivista cliccando qui.

QED #1 - Il Libro

Solitamente, in un'opera di matematica i risultati più notevoli vengono espressi sotto forma di Teoremi. E ad ogni teorema corrisponde un'accurata dimostrazione. Attraverso le dimostrazioni è quindi possibile percorrere la via che dagli assiomi (le "verità fondamentali", punto di partenza di ogni teoria matematica) conduce fino ai risultati più spettacolari ed inattesi.

Didatticamente, questo modo di procedere può però risultare un po' ingannevole: l'allievo distratto o il lettore occasionale potrebbero ricavare l'impressione che in matematica vi sia sempre una "via maestra" che conduce invariabilmente al risultato voluto. Le dimostrazioni, con la loro eleganza formale, non rendono conto del cammino reale effettuato, che è spesso tortuoso e irto di ostacoli inattesi. Il lavoro del matematico è senz'altro più "sporco" di quanto mostrino le opere finite: solitamente, solo in un secondo tempo (e magari da altri autori) un percorso di ricerca viene condensato in modo sintetico ed elegante.

Già, elegante. Col tempo, il matematico sviluppa un vero e proprio senso estetico per le dimostrazioni. Paul Erdös, di cui ho parlato nei due post precedenti, asseriva che Dio (il "Sommo Fascista", nella sua terminologia) possiede un libro in cui sono riportate le dimostrazioni più belle. Aggiungeva, inoltre, che il matematico non è tenuto a credere in Dio, ma nel libro sì.

Negli ultimi anni della sua vita, su suggerimento di Martin Aigner e Günter Ziegler, Erdös si mise addirittura all'opera per compilare un'approssimazione del "Libro". Purtroppo non riuscì a completare il lavoro, ma il volume fu comunque terminato dai suoi due collaboratori e uscì nel 1998 con il titolo di Proofs from THE BOOK. Il risultato è un vero e proprio "scrigno del tesoro" (forse un po' parziale nei contenuti, che riflettono gli interessi di Erdös), che presenta un gran numero di dimostrazioni affascinanti, spaziando dalla teoria dei numeri alla geometria, per poi passare all'analisi e all'ambito combinatorio. Il primo capitolo si apre (era quasi obbligatorio) con la celebre dimostrazione di Euclide del fatto che i numeri primi sono infiniti (altre cinque dimostrazioni, più recenti, sono incluse), e nei capitoli successivi troviamo altri Classici, come il Postulato di Bertrand, l'irrazionalità di pi greco, la Formula di Eulero per i grafi planari, il metodo della diagonale di Cantor nonché numerose applicazioni del principio dei cassetti e di quello del doppio conteggio.

Essendo un'approssimazione del Libro, l'opera di Aigner e Ziegler è una sorta di work in progress: noto che nelle successive revisioni alcune dimostrazioni contenute nella prima edizione (che ho acquistato anni fa) sono state tolte ed altre sono state aggiunte (l'operazione mi sembra un po' discutibile, ed invita quasi a procurarsi il libro, peraltro costosetto, con metodi un po' "grigi"). In italiano è disponibile la terza edizione, a cura del "matematico di Alinghi" Alfio Quarteroni.

My mind is open - 2

Sulla vita di Paul Erdös il regista G.P. Csicsery ha realizzato nel 1993 il documentario N is a number. Su YouTube esso è visionabile per intero (almeno fino a quando non lo toglieranno...). Eccone la prima parte:

Il seguito è visibile qui: parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6, parte 7, parte 8, parte 9.