QED #1 - Il Libro

Solitamente, in un'opera di matematica i risultati più notevoli vengono espressi sotto forma di Teoremi. E ad ogni teorema corrisponde un'accurata dimostrazione. Attraverso le dimostrazioni è quindi possibile percorrere la via che dagli assiomi (le "verità fondamentali", punto di partenza di ogni teoria matematica) conduce fino ai risultati più spettacolari ed inattesi.

Didatticamente, questo modo di procedere può però risultare un po' ingannevole: l'allievo distratto o il lettore occasionale potrebbero ricavare l'impressione che in matematica vi sia sempre una "via maestra" che conduce invariabilmente al risultato voluto. Le dimostrazioni, con la loro eleganza formale, non rendono conto del cammino reale effettuato, che è spesso tortuoso e irto di ostacoli inattesi. Il lavoro del matematico è senz'altro più "sporco" di quanto mostrino le opere finite: solitamente, solo in un secondo tempo (e magari da altri autori) un percorso di ricerca viene condensato in modo sintetico ed elegante.

Già, elegante. Col tempo, il matematico sviluppa un vero e proprio senso estetico per le dimostrazioni. Paul Erdös, di cui ho parlato nei due post precedenti, asseriva che Dio (il "Sommo Fascista", nella sua terminologia) possiede un libro in cui sono riportate le dimostrazioni più belle. Aggiungeva, inoltre, che il matematico non è tenuto a credere in Dio, ma nel libro sì.

Negli ultimi anni della sua vita, su suggerimento di Martin Aigner e Günter Ziegler, Erdös si mise addirittura all'opera per compilare un'approssimazione del "Libro". Purtroppo non riuscì a completare il lavoro, ma il volume fu comunque terminato dai suoi due collaboratori e uscì nel 1998 con il titolo di Proofs from THE BOOK. Il risultato è un vero e proprio "scrigno del tesoro" (forse un po' parziale nei contenuti, che riflettono gli interessi di Erdös), che presenta un gran numero di dimostrazioni affascinanti, spaziando dalla teoria dei numeri alla geometria, per poi passare all'analisi e all'ambito combinatorio. Il primo capitolo si apre (era quasi obbligatorio) con la celebre dimostrazione di Euclide del fatto che i numeri primi sono infiniti (altre cinque dimostrazioni, più recenti, sono incluse), e nei capitoli successivi troviamo altri Classici, come il Postulato di Bertrand, l'irrazionalità di pi greco, la Formula di Eulero per i grafi planari, il metodo della diagonale di Cantor nonché numerose applicazioni del principio dei cassetti e di quello del doppio conteggio.

Essendo un'approssimazione del Libro, l'opera di Aigner e Ziegler è una sorta di work in progress: noto che nelle successive revisioni alcune dimostrazioni contenute nella prima edizione (che ho acquistato anni fa) sono state tolte ed altre sono state aggiunte (l'operazione mi sembra un po' discutibile, ed invita quasi a procurarsi il libro, peraltro costosetto, con metodi un po' "grigi"). In italiano è disponibile la terza edizione, a cura del "matematico di Alinghi" Alfio Quarteroni.