Rimembranze

Tre giorni fa (il 22 luglio) il doodle di google ha celebrato i cent'anni della nomina a professore di Stefan Banach, di fatto l'inventore della moderna analisi funzionale. A dire il vero non  ho praticato moltissimo questo campo della matematica, e ricordo solo un paio di oggetti che portano il nome del matematico polacco (gli spazi di B., che essenzialmente sono spazi vettoriali completi; il teorema del punto fisso di B. (attribuito pure a Renato Caccioppoli, che comunque l'ha trovato per secondo), che essenzialmente afferma che una contrazione in uno spazio di B. ha un unico punto fisso, e il fondamentale Teorema di Hahn-B., a proposito dell'estensione di certi funzionali da un sottospazio all'intero spazio).

Ma per quanto mi riguarda, l'analisi funzionale resterà sempre indissolubilmente legata alle lezioni del prof. Corneliu Constantinescu, recitate a memoria, quasi eteree nel loro purismo Bourbakista. Belle e impossibili, così come a volte risultava di fatto impossibile riconoscerne il legame con la "Serie" di esercizi settimanale (la cui spiegazione era demandata ai malcapitati assistenti, a cui venivano delegati i compiti più mondani). Per non parlare dello "Skript" del corso, diligentemente dattilografato dalla per noi allora fantomatica Signora Aquilino, pioniera anche nell'utilizzo di LaTeX all'ETH.

Letture estive...

Sia per il piacere della lettura, sia perché ritengo che l'auto-aggiornamento per un insegnante sia un dovere imprescindibile, persevero nell'acquistare libri di argomento matematico che solo in parte sarò in grado di smaltire. Eccone alcuni, letti più o meno recentemente (alternandoli con testi di altra natura, dalla poesia di Massimo Gezzi, all'ironia di Starnone, fino alla narrativa, alta o bassa, di Fenoglio, Fontana, Barbero, Don Winslow o Lee Child).

• Un labirinto incerto - Appunti per una poetica della matematica, di Riccardo Giannitrapani. Quello che più ho apprezzato è il punto di vista dell'autore, che è quello di un insegnante, confrontato quindi, come il sottoscritto, con la necessità quotidiana di dare un senso alle definizioni e ai teoremi che vada al di là dei meri aspetti tecnico/logico/mnemonici. Perché troppo spesso ci si dimentica di tutti quegli aspetti (storici, filosofici, anche aneddotici) che rendono la matematica un vero patrimonio culturale dell'umanità. Gli esempi scelti dall'autore - dal problema di Collatz alla teoria delle trecce, passando per la sempre efficace sezione aurea -  rappresentano un campionario che ben si adatta alla presentazione della materia a livello liceale. Ad arricchire il tutto vi è poi un capitolo dedicato alle analogie tra matematica e poesia (evidentemente, un pallino dell'autore), che ci restituisce uno sguardo del tutto originale, fondato su un'attenta lettura delle opere di Shelley, Borges e Tomas Tranströmer.
  Inoltre, last but not least, il libro di Giannitrapani mi ha permesso di scoprire due metodi per l'enumerazione dei razionali di cui non avevo mai sentito parlare (gli alberi di Stern-Brocot e Calkin-Wilf). Dovrò approfondire (in particolare, mi stuzzica molto l'utilizzo fatto dall'orologiaio Louis Achille Brocot delle frazioni continue).
• Uno, due, tre, molti - Come la matematica ha creato la civiltà, di Michael Brooks. Un punto di vista abbastanza originale, che mette in rilievo il ruolo rivoluzionario che alcune scoperte matematiche hanno rivestito nel corso dei secoli, in modo diretto o indiretto, nel sostenere e guidare il genere umano. Ad esempio, i tanto temuti logaritmi, sotto forma di tavole o regoli, ci hanno permesso di esplorare il cosmo dapprima con la mente, accelerando i calcoli necessari agli astronomi, e poi letteralmente, come strumento indispensabile agli ingegneri e agli astronauti del programma Apollo (anche Buzz Aldrin fece uso del suo regolo per preparare l'allunaggio). E di sprigionare la potenza dell'atomo (Enrico Fermi calcolava a sua volta con l'aiuto di un regolo). Per non parlare dell'algebra dei polinomi, utilizzata da Tartaglia per calcolare la gittata di un cannone, dell'algebra lineare utilizzata nel PageRank, dei numeri complessi utilissimi in elettronica, e ovviamente del calcolo infinitesimale e della statistica. 
  Un bel libro, arricchito da aneddoti e racconti ben selezionati, che però avrebbe meritato una maggior cura redazionale: non è così grave sbagliare una cifra del pi greco (pag. 83), ma gli errori negli esponenti di tutte le coniche (pag. 115) e nella scrittura delle funzioni esponenziali (pag. 215) potrebbero risultare fuorvianti per il lettore non specializzato (a cui questo libro sembra essere dedicato). Peccato.
  
• Cool Math for Hot Music - A First Introduction for Music Theorists, di Guerino Mazzola, Maria Mannone e Yan Pang (stampato così così, tra l'altro: con il print on demand la qualità dei libri della Springer si è decisamente abbassata). A Zurigo non ho mai incontrato Guerino Mazzola, anche se avevo alcuni conoscenti comuni (ricordo che all'ETH, nell'ufficio di fianco al mio, lavorava una sua dottoranda), ma mi ha sempre incuriosito il suo approccio estremamente astratto e formale allo studio della musica (apprezzato, pare, anche da Alexander Grothendieck). Anni fa acquistai il suo monumentale volume The Topos of Music, ma lo abbandonai quasi subito su uno dei miei scaffali, intimorito dall'uso degli strumenti matematici, non lontani dalla mia pratica matematica ma lontanissimi dalla mia sensibilità musicale. Questo invece l'ho letto fino in fondo, anche se la cosa ha comportato un certo sforzo. C'è un sacco di roba interessante, a partire dalle annotazioni storiche, ma fatico un po' ad identificare il destinatario ideale dell'opera: se davvero dev'essere intesa come una "prima introduzione" destinata ai teorici della musica, la formalizzazione mi sembra decisamente troppo spinta, con l'utilizzo di concetti che potrebbero risultare ostici perfino per il matematico medio.
  Ma il libro mi ha comunque permesso di fare alcune belle scoperte, come il Würfelspiel (di cui ho già parlato) e la composizione Herma di Iannis Xenakis.
• Matematica in movimento - Come cambiano le dimostrazioni, di Gabriele Lolli. Lo schema "Teorema/Dimostrazione" viene spesso proposto (inflitto?) molto precocemente ai nostri liceali, solitamente facendo uso di di due classicissimi risultati (l'infinità dei numeri primi, l'irrazionalità della radice di due) già indicati come esemplari da Hardy nella sua Apologia. Per noi insegnanti può essere chiaro che, essenzialmente, l'enunciato del teorema cristallizza l'essenza di un risultato ma che la matematica si nasconde dentro la dimostrazione, ma non possiamo dare per scontato che ciò sia già così per uno studente all'esordio del percorso liceale. Anche perché, da Euclide in poi, il concetto di "dimostrazione" non ha avuto sempre lo stesso senso; essenzialmente oggi lo percepiamo come un mix tra l'idealismo di Hilbert e il puntiglioso rigore Bourbakista, condito dalla logica formale figlia della "crisi dei fondamenti".
  Il libro di Lolli, profondo ma comunque leggibilissimo, tratteggia innanzitutto l'evoluzione della "dimostrazione" in matematica, dal rigore (almeno apparente) di Euclide, al successivo rilassamento (Fermat, ad esempio, non lasciò dimostrazioni, e infatti non sempre ci azzeccò), fino al riemergere di una logica fortemente formalizzata e all'apporto fondamentale del policefalo Bourbaki, definito un vero e proprio "spartiacque". Per giungere, infine, al supporto che ha dato, in tempi più recenti, l'uso del calcolatore (esempio standard: il Teorema dei quattro colori), non ancora pienamente metabolizzato dalla comunità dei matematici. Di sicuro interesse sono poi il capitolo dedicato alla bellezza del ragionamento matematico (in cui l'autore menziona proprio i due esempi che ho citato sopra) e il successivo, che contiene una disamina del celebre lavoro di Wigner sull'Irragionevole efficacia, in cui Lolli scorge un certo grado di contraddittorietà e superficialità.
  

Qualcuno me lo spiega?

Dal mio iPhone è sbucato questo maldestro quartetto di scatti rubati, se ben ricordo, al Kunstmuseum di Basilea qualche anno fa. Concernono due opere dell'artista belga Georges Vantongerloo (1886-1965), il quale, apparentemente, a un certo punto della sua carriera fu folgorato dal fascino della matematica. Ho visto qualcosa di suo anche a Lisbona, qualche mese fa, al Museu Coleção Berardo (interessante ma poco conosciuto, a due passi dallo stupendo Mosteiro dos Jeronimos). Fatico un po' a comprendere il rapporto tra i titoli delle opere, che parrebbero codificarle nel gergo matematico, e le opere stesse: ad esempio, per quanto riguarda la prima delle due opere, che c'entra il polinomio $2x^3-13.5x^2+21x$? Nella seconda, forse, il titolo $L^2=S$ allude semplicemente alla forma quadrata? Boh?
A questo link si trova un abbozzo di spiegazione di un'altra opera, esposta alla Tate (non ricordo, ma probabilmente l'avrò vista qualche anno fa); le cifre nel titolo indicano essenzialmente le distanze tra le barre verticali.

Odissea nello spazio... frattale

Un documentario vintage (del 1995), dedicato a Benoît Mandelbrot e alla sua matematica, impreziosito da alcune guest star di prestigio. L'ideatore e narratore è nientepopodimeno che Sir Arthur C. Clarke (quello di 2001), e le musiche sono di un certo David Gilmour. Buona visione!

Anche al buon Eulero...

 ... è capitato, almeno una volta, di prendere un granchio. Nel 1769, forse frustrato dall'apparente impossibilità di dimostrare la celeberrima congettura scarabocchiata da Fermat sulla sua copia dell'Aritmetica, ne propose una generalizzazione, immaginando che per ottenere un'$n$-esima potenza intera da una somma di $n$-esime potenze occorressero almeno $n$ addendi. In sintesi, se $a_1,a_2,\ldots,a_k,b\,\in\mathbb N\setminus\{0\}$ e $n,k\ge2$,
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b^n \;\Rightarrow\; k \ge n \;.
$$
La congettura resistette ai tentativi di dimostrazione o confutazione fino al 1966, quando Leon J. Lander e Thomas R. Parkin, sfruttando la potenza del "supercomputer" più potente dell'epoca (il CDC 6600), riuscirono a ricavare un controesempio per $n=5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
$$
(la verifica si può fare con una semplice calcolatrice scientifica). Il paper in cui comunicarono la loro scoperta è certamente tra i più brevi mai pubblicati:

(qualche informazione in più si può trovare qui).

Nel 1967 Lander e Parkin, assieme al più noto John Selfridge,  proposero una nuova congettura, riassumibile con
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b_1^n+\ldots+b_{\ell}^n \;\Rightarrow\; k+\ell \ge n \;.
$$
Dalla validità di quest'ultima seguirebbe, con $\ell=1$, che la congettura di Eulero varrebbe con la condizione $k\ge n$ rimpiazzata da $k\ge n-1$. Ciò è supportato anche dalla scoperta del 1988 di Roger Frye (menzionata in un lavoro di Noam Elkies), il quale riuscì a scovare un controesempio anche per $n=4$, con 3 addendi:
$$
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4 \; .
$$
Si tratta del "più piccolo controesempio" per $n=4$, e quindi del più piccolo in assoluto: per $n=3$ la congettura di Eulero è una conseguenza immediata dell'intuizione di Fermat, nel frattempo promossa da congettura a Teorema (l'Ultimo Teorema di Fermat, o Teorema di Wiles).