Identità di... Wilson?

Non è certo sexy come $$e^{i\pi}+1=0\quad,$$ ma anche l'identità $$\fbox{$e^{2\pi\sin(i\ln(\phi))}+1=0$}$$ 

ha senz'altro il suo fascino, se non altro perché stabilisce un legame tra tra la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (il numero "più irrazionale di tutti") e i numeri $0$, $1$, $i$, $\pi$ e $e$ (senza dimenticare il $2$), coinvolgendo pure due funzioni trascendenti (il seno e il logaritmo naturale). La dimostrazione è una verifica elementare, basata sull'identità di Eulero, e le identità $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\frac{1}{2}i(e^{ix}-e^{-ix})$$ e $$\phi^2=\phi+1\quad\iff\quad\phi^{-1}-\phi=-1\quad$$ (senza dimenticare che $i^2=-1$).

In sintesi, $$\begin{eqnarray*}\sin(i\ln\phi) &=& -\frac{1}{2}i(e^{i^2\ln\phi}-e^{-i^2\ln\phi})=-\frac{1}{2}i(e^{-\ln\phi}-e^{\ln\phi})\\&=&-\frac{1}{2}i(\phi^{-1}- \phi) =\frac{1}{2}i\end{eqnarray*}$$ e quindi $$e^{2\pi\sin(i\ln(\phi))}=e^{2\pi\cdot\frac{1}{2}i}=e^{i\pi}=-1\quad.$$

Ho scovato questa bizzarra identità sfogliando il volumetto Euler's Pioneering Equation, una lettura estiva non troppo impegnativa, del matematico inglese Robin Wilson (di cui avevo letto anche questo).

Il Teorema di Marion

Il Teorema di Marion, scoperto dalla matematica statunitense Marion Walter sperimentando con un software di geometria dinamica, è una proprietà abbastanza sorprendente dei triangoli: l'area dell'esagono racchiuso dai segmenti che congiungono i vertici di un triangolo con i punti che trisecano i lati opposti è pari a $\frac{1}{10}$ dell'area del triangolo.

Online si trovano un paio di dimostrazioni del teorema; io ho semplicemente cercato di verificare l'enunciato usando un po' di "forza bruta", grazie ad un minimo di geometria analitica e vettoriale. Essenzialmente, ho calcolato l'area partendo dal triangolo di vertici $A(0,0)$, $B(20,0)$ e $C(a,b)$, intersecando le rette definite dalle coppie di punti e suddividendo l'esagono in quattro triangoli (e successivamente in due quadrilateri). L'area del triangolo $ABC$ è pari a $10b$ e, con giusto un paio di conticini, svolti in parte  a mano e in parte con Wolfram Alpha, sono effettivamente giunto al valore $b$.

La dimostrazione può senz'altro essere resa più sintetica e elegante, evitando di far uso di coordinate, e l'analisi del procedimento pasticciato sopra fornisce una possibile traccia. Forse prima o poi ci penserò su.

Oslo

Ho visitato Oslo, la scorsa settimana. Bella città, moderna, ricca d'arte, cultura e storia. E tutt'altro che nordica per quanto riguarda il clima, tra l'altro. Oslo è la città del Premio Nobel per la Pace, celebrato il 10 dicembre di ogni anno nell'imponente Aula decorata da Edvard Munch. Ma, come sanno i cultori della matematica, nella stessa imponente cornice, dal 2001 viene attribuito anche il premio Abel, il cui prestigio rivaleggia con quello della Medaglia Fields (che però è riservata ai matematici "giovani"). Pensato come una sorta di riconoscimento alla carriera, esso è stato attribuito a molti "semidei" della matematica (primo fra tutti, nel 2001, al leggendario Jean-Pierre Serre, ma anche a Sir Andrew Wiles, che avrebbe stra-stra-meritato la medaglia Fields ma non la vinse solo per raggiunti limiti d'età). 

La cerimonia di consegna del premio è preceduta, ogni anno, dalla deposizione di una corona di fiori ai piedi del monumento a Niels Abel, collocato nel parco del castello e realizzato dal più noto scultore norvegese, Gustav Vigeland (autore anche della medaglia attribuita ai Nobel per la pace). Non ho potuto non scattargli qualche fotografia, così come non ho potuto non recarmi al parco Frogner, per ammirare l'imponente installazione di opere scultoree sempre di Vigeland (si tratta della più popolare attrazione turistica norvegese).

Al monumento di Vigeland (e anche all'impressione negativa che fece su Felix Klein) è dedicato un breve articolo di Guy Waldo Donnington apparso sul National Mathematics Magazine nel 1936. Si tratta della seconda parte della cronaca del decimo Congresso Internazionale di Matematica, l'ultimo prima del secondo conflitto mondiale, tenutosi proprio a Oslo, in un clima che, tra defezioni sovietiche e esclusioni italiane,  già lasciava intravedere lo sfacelo incombente (il congresso successivo, previsto per il 1940, si tenne a Cambridge ben 14 anni più tardi). Interessante è anche la prima parte del reportage, che racconta il congresso vero e proprio, con l'inaugurazione di un busto dedicato a un altro Grande della matematica nato in Norvegia, Sophus Lie, e un evento che si potrebbe definire epocale, cioè il conferimento, che ebbe luogo proprio a Oslo, delle prime Medaglie Fields, a Lars Ahlfors (di cui ricordo di aver apprezzato, da studente all'ETH, la monografia Complex Analysis) e Jesse Douglas (per la risoluzione del problema di Plateau).

A proposito...

 ... di Renato Caccioppoli. Ricordo di aver sentito parlare per la prima volta di lui da Luciano de Crescenzo nel primo volume della sua Storia della filosofia, che lessi al liceo (perché mi pareva molto meno "palloso" del libro di testo scelto dalla "soressa"). Poi, qualche anno più tardi, di lui (o, piuttosto, degli insiemi che portano il suo nome) ci parlò Michael Struwe, nell'ambito del corso di Teoria della misura. Più tardi, appresi che a volte viene associato il nome di Caccioppoli al fondamentale Teorema del punto fisso per le contrazioni, che Stefan Banach enunciò per primo. Ma confesso di non aver mai approfondito molto la conoscenza del matematico napoletano prima della lettura del libro della Foschini. Sapevo però che a Caccioppoli il regista Mario Martone ha dedicato un lungometraggio, Morte di un matematico napoletano, che ho rivisto di recente (qui lo si trova). Nel fotogramma riprodotto compare l'unico frammento di matematica visibile nel film (parte dell'enunciato del teorema dei due carabinieri). Il religioso alla cattedra, Don Simplicio nella finzione cinematografica, rappresenta in realtà Don Savino Coronato, storico assistente di Caccioppoli.

Ok, ora posso definitivamente considerarmi rimbambito. L'avevo dimenticato, ma del lungometraggio di Martone avevo già parlato qui, 10 anni fa. Me ne sono accorto solo dopo aver pubblicato questo post. Sapevo che prima o poi sarebbe successo...

Altre letture...

Ho letto un po' meno del solito negli ultimi mesi (una trentina di libri dall'inizio dell'anno), e non moltissimo di matematica. E non è che di quello che ho letto mi rimanga molto, tra l'altro, ma pare che questo sia un problema comune. A volte mi consolo pensando a una storiella un po' zen, forse di origine polinesiana (vedi qui) che circola da tempo online: Un giorno un allievo chiese al suo maestro: «Ho letto moltissimi libri, ma ho dimenticato la maggior parte di essi. Ma allora qual è lo scopo della lettura?» Il maestro non rispose subito. Passò qualche giorno, e mentre lui e il giovane allievo se ne stavano seduti vicino ad un fiume, pregò il ragazzo di prendergli dell’acqua usando un vecchio setaccio tutto sporco che era lì per terra. Il giovane si stupì. Sapeva che era una richiesta irrazionale. Ma non volendo contraddire il suo maestro prese il setaccio e provò a compiere diverse volte l'assurdo compito. Ogni volta che tirava su l’acqua dal fiume, non riusciva nemmeno a compiere un passo verso il maestro, che già il setaccio si svuotava. Provò davvero tante volte, e per quanto cercasse di essere veloce l’acqua continuava a passare in mezzo a tutti i fori del setaccio e si perdeva immediatamente. Ormai privo di forze si sedette accanto al maestro e gli disse: «Maestro, ho fallito! Non riesco a prendere l’acqua con quel setaccio. E' impossibile, perdonami». «Non hai fallito», rispose il maestro sorridendogli. «Guarda ora il setaccio: è come nuovo. Tutta quell'acqua lo ha ripulito filtrando dai suoi buchi». «Vedi, quando leggi dei libri accade la stessa cosa: tu sei come il setaccio ed essi sono come l’acqua del fiume!». «Non importa se non riesci a trattenere nella tua memoria tutta l’acqua che essi fanno scorrere in te, poiché i libri, con le loro idee, emozioni, sentimenti, conoscenza, verità, che vi troverai tra le pagine, puliranno comunque la tua mente ed il tuo spirito, e ti renderanno una persona migliore e rinnovata».

Beh, a ripulire la mia mente e il mio spirito negli ultimi mesi hanno contribuito anche questi:

• Onda su Onda, di Richard Mainwaring (no, non di Paolo Conte, ma la cantava bene anche Bruno Lauzi; il titolo originale comunque era Everybody Hertz). L'autore è, soprattutto, musicista e compositore (vedi anche qui), ma anche come divulgatore mostra di cavarsela benino. Il libro esplora il mondo delle frequenze, dalle più basse (come i 52Hz emessi da 52 Blue, la più solitaria delle balene) alle più alte, trascinandoci in un affascinante viaggio interdisciplinare attraverso musica, fisica, psicologia, fisiologia e filosofia, scritto per un pubblico abbastanza generalista e quindi privo di particolari ostacoli di carattere tecnico. Godibile.

• Calculus off the Beaten Path, di Ignacio Zalduendo. Essenzialmente un corso introduttivo di calculus che, secondo il titolo (che non è la traduzione dell'originale), dovrebbe discostarsi dal sentiero battuto (battuto e ribattuto da oltre un secolo, come documenta l'ottimo A Course of Pure Mathematics, concepito da G. H. Hardy all'inizio del '900). In realtà, però, non mi pare che se ne discosti molto, almeno nella trattazione degli argomenti più standard (limiti, derivate, integrali). Piuttosto, a tratti percorre qualche diramazione meno frequentata: certamente interessanti sono ad esempio le digressioni sulla disuguaglianza isoperimetrica e sulla funzione Gamma. Un buon ripasso di analisi, insomma, magari in preparazione del nuovo anno scolastico, ma nulla più. 

• L'attrito della vita. Indagine su Renato Caccioppoli matematico napoletano, di Lorenza Foschini. L'autrice, nota giornalista (di lei mi ricordo il programma Misteri, su Rai2, e i telegiornali (quando i TG italici si potevano ancora seguire)), tra l'altro imparentata con il grande matematico, ci parla soprattutto dell'uomo Renato Caccioppoli, geniale e tormentato, anarchico e antifascista, fine intellettuale, e profondamente napoletano. Ci parla di lui attraverso una serie di quadri, ordinati cronologicamente, cercando anche di riportare in maniera oggettiva alcune delle leggende che sono fiorite attorno a lui, documentando il percorso tormentato che lo condurrà, ahimè, alla tragica fine. Mi è piaciuto.

• Vector, di Robyn Arianrhod. Un libro tosto, specialmente per chi, come me, non ha mai digerito del tutto il concetto di tensore. Ma senz'altro istruttivo anche sorvolando sui particolari più ostici. In effetti, a differenza di altri concetti che insegniamo al liceo (tipo le derivate e gli integrali), non è così semplice inquadrare storicamente il concetto di vettore, che ha un sacco di progenitori (come i numeri complessi e i quaternioni) e di origini diverse, a seconda del contesto in cui lo si considera (geometrico, algebrico, fisico). Il libro tenta di fare un po' di ordine sulla questione, riuscendoci in modo abbastanza convincente anche se, come detto, l'enfasi sugli aspetti tensoriali lo rende un po' poco accessibile al non esperto. 

L'albero di Stern-Brocot

 ... incombe su di me, riprodotto sulla lavagna del mio studiolo, da un sacco, ma veramente un sacco di tempo. Dalla mia vita precedente, addirittura. Ci sarebbero un sacco di cose da dire su di lui; da tempo mi ripropongo di dedicargli una serie di post, ma continuo a rimandare. Chissà, forse riproducendolo qui riuscirò a sbloccarmi. Vedremo...

C'è di meglio...

Solitamente, su Apple TV+ con le serie si va sul sicuro. Slow Horses, Severance, Dark Matter, Constellation, Ted Lasso, Mythic Quest sono solo alcune delle proposte che mi sono goduto sul servizio di streaming della mela. Quindi ovviamente nutrivo aspettative molto alte su Prime Target, in cui la matematica avrebbe dovuto farla da padrone.

Avrebbe, perché in realtà, forse per la paura di spaventare il pubblico, viene menzionata ben poco, e per lo più in modo tutt'altro che convincente per chi ne capisce almeno un pochino, nonostante l'apparente consulenza di un matematico professionista. La trama, inoltre, è quella di un thriller scritto in modo competente e nulla più (o magari dall'ia?), dove i colpi di scena non riescono a stupire più di quel tanto. 

Gli attori, però, sono bravini. È guardabile, quindi, anche se in giro c'è talmente tanta roba migliore che forse potrebbe valer la pena dare un'occhiata altrove.

Buon 45^2

Ai miei allievi di prima chiedo talvolta di spiegare perché, per calcolare il quadrato di un numero che termina con la cifra 5, è sufficiente scrivere 25 in coda al prodotto del numero ottenuto togliendo l'ultima cifra con il suo successivo; essenzialmente, si tratta soltanto dell'identità $$(10a+5)^2=100a(a+1)+25\quad.$$

Dal momento che $4\cdot5=20$, concludiamo che $2025$ è il quadrato di $45$.

Un pretesto come un altro per augurare ai tre lettori (occasionali) di questo piccolo blog un felice anno nuovo.