Keplero in (?) musica

Il trattatello di Keplero sui fiocchi di neve ha ispirato al fantomatico gruppo noto come Keplers Odd un omonimo album, per i miei gusti decisamente un po' estremo. Per chi ha Spotify, eccolo (tra l'altro, sarei curioso di sapere a cosa fanno riferimento i codici che identificano i brani):

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Una strenna a sei punte

Alla maggior parte degli studenti, Johannes Kepler (1571-1630) è noto per le sue tre leggi sui moti planetari, pubblicate nell'Astronomia nova (1609) e nell'Harmonices mundi (1619). I suoi lavori rappresentano un tassello fondamentale della rivoluzione scientifica, collocandosi, per così dire, sul crinale tra superstizione e metodo scientifico (ad esempio, l'Harmonices Mundi è un sapiente mix di astronomia, musica e astrologia). Esemplare in questo senso è pure il trattatello Strena seu de nive sixangula che nel 1611 Keplero, matematico di corte di Rodolfo II,  regalò all'amico Johannes Matthäus Wacker von Wackenfels, a sua volta consigliere del Sacro romano imperatore, in occasione del nuovo anno. In esso l'autore, ispirato dai fiocchi di neve caduti sul suo mantello, si interroga a proposito dell'esagonalità dei cristalli che li costituiscono, intuendo per primo che essa, in qualche modo, debba essere effetto della collocazione delle sue più piccole costituenti. Ispirato dalla disposizione dei semi del melograno e delle celle all'interno di un alveare, arriva addirittura a congetturare che il problema sia analogo a quello dell'impacchettamento delle palle di cannone, formulando quella che da allora (?) è nota come congettura di Keplero (cioè che, sostanzialmente, la disposizione più efficiente è quella impiegata sui banchi dei fruttivendoli). Il problema è tutt'altro che banale; in effetti, sono occorsi quasi quattro secoli prima che tale congettura si trasformasse in un teorema, la cui dimostrazione, largamente basata su verifiche al computer (un po' come successe con il Teorema dei quattro colori), fa decisamente storcere il naso ai puristi.  

In rete è abbastanza semplice trovare in latino il testo di Keplero (qui, ad esempio). Ho faticato un po' di più a trovarne una traduzione: qui ce n'è una, con testo a fronte, pubblicata da Oxford nel '66. Qui è possibile scaricare l'articolo degli Annals che riporta la strategia impiegata nella dimostrazione originale, poi rivista integralmente qui con l'ausilio di un software di Automated proof checking.

Letture...

Il 2017 si è rivelato un altro anno complicato, con una miriade di impegni che mi hanno tenuto lontano dalla matematica e da questo blog. Ciononostante, nel corso degli ultimi mesi qualche libro sono riuscito a leggerlo, anche se a causa del tempo trascorso non sarei più in grado di scriverne delle recensioni approfondite. Ecco comunque quattro spunti, in ordine di lettura:

• Gabriella Greison, L'incredibile cena dei fisici quantistici. Un modo decisamente originale e riuscito di fare divulgazione: il pretesto è la cena indetta dai reali del Belgio con cui si è concluso, nell'ottobre 1927, il quinto congresso Solvay,  il più famoso, quello dedicato alla teoria dei quanti. Tra i partecipanti al congresso, sono ben 17 quelli che avevano già o avrebbero ricevuto il Nobel, anche se non tutti erano stati invitati a cena (a cena c'erano Einstein, Born e Marie Curie, ma fra gli esclusi troviamo Pauli, Fermi e Heisenberg). Alternando momenti conviviali, notizie biografiche e spiegazioni scientifiche, all'autrice, fisica, giornalista e scrittrice, riesce decisamente di appassionarci. Tra l'altro, qui è possibile visionare un TED Talk in cui fa sostanzialmente un riassunto del libro, e qui, sull'ArXiv, la bozza di un lavoro dedicato all'importanza del V Congresso Solvay, che ne include i proceedings.
• Cathy O'Neil, Weapons of math destruction. È un futuro a tinte fosche quello che l'autrice, allieva di Barry Mazur, blogger e data scientist pentita, ci prospetta, se la tendenza ad affidarci ciecamente ed acriticamente agli algoritmi basati sui big data si affermerà definitivamente. Il motivo è presto detto: tali algoritmi, fondati su dati accumulati nel passato e su definizioni soggettive di successo, finiscono per nascondere sotto una patina di obiettività i preconcetti e i pregiudizi del passato, perpetuandone gli effetti nefasti sulla società in ambiti cruciali quali la scuola o la giustizia. Anche in questo caso l'autrice affida ad un TED Talk la sintesi del suo lavoro; il titolo è tutto un programma: The era of blind faith in big data must end.
• Marcus DuSautoy, Ciò che non possiamo sapere. L'ho letto mesi fa, e quindi devo ammettere che il ricordo è piuttosto sbiadito. Ma per lo meno ricordo di aver apprezzato l'arguzia e la competenza del Professor for the public understanding of science, anche se a dire il vero lo apprezzo molto di più quando mette il suo talento al servizio della matematica tout court.
  Anche qui, fortunatamente, è disponibile in rete un condensato dell'opera. Stavolta si tratta di una lezione tenuta da DuSautoy presso la prestigiosa Royal Institution. Godetevela qui.
• Igor e Grichka Bogdanov, I cacciatori di numeri. Non mi ha convinto praticamente nulla di questo libro, dal tono superficiale e sensazionalista, al fastidioso stile da serie TV, con i teasers al termine di ogni paragrafo, fino all'autocelebrazione dei due autori, fisici controversi e personaggi televisivi in ambito francofono. Anche se non costa molto, questo non me la sento proprio di consigliarlo...

Il problema di Stockhausen

Bighellonando online, mi sono imbattuto nel saggio Combinatorial problems in the theory of music, pubblicato vent'anni fa su Discrete Mathematics dal matematico e compositore Ronald C. Read. Fra i problemi trattati, ce n'è uno che trovo particolarmente intrigante: in quanti modi può essere eseguito il Klavierstück XI di Stockhausen?

Karlheinz Stockhausen (1928-2007) è stato uno tra i più visionari e influenti compositori del XX secolo, grazie ad esempio al suo approccio pionieristico alla musica elettronica e alle tecniche compositive aleatorie. Ed è proprio a queste ultime che si rifà l'undicesimo Klavierstück, una delle prime "opere aperte" della musica occidentale: lo spartito si compone di 19 frammenti, disposti su un foglio di grandi dimensioni, in modo assolutamente non gerarchico:

I frammenti devono venire eseguiti in un ordine casuale, mai due volte di seguito e in modo tale che il brano si arresti non appena uno dei diciannove venga selezionato per la terza volta.

Applicando al problema tecniche piuttosto sofisticate di calcolo combinatorio (funzioni generatrici, in particolare), Read mostra che il brano può essere eseguito in

17423 935148332 958167310 127282862 901334594

modi (più di diciassettemila miliardi di miliardi di miliardi di miliardi); possiamo essere quindi ragionevolmente sicuri che, a meno di imbrogli, il Klavierstück XI non verrà mai eseguito due volte nello stesso modo.

Come gran parte della produzione di Stockhausen, il brano non è di facile ascolto. Eccone un'esecuzione da parte del pianista francese Pierre-Laurent Aimard:

Irriverente, ma in fondo un po' comprensibile, il primo commento apparso sul sito di YouTube: à l'entrée de la salle de concert, il y a des militaires armés pour empêcher les spectateurs de fuire.

Da un ministro all'altro

L'elezione di Ignazio Cassis (complimenti e auguri!), ottavo Consigliere federale ticinese, avvenuta proprio nella settimana in cui in Ticino si vota sull'introduzione di una nuova (?) modalità di insegnamento della Civica, quantomeno discutibile e non a caso avversata a stragrande maggioranza dagli ambienti scolastici, non può non riportarci alla mente Stefano Franscini (1795-1857),  vera e propria icona della scuola ticinese e primo svizzero-italiano chiamato a sedere nella "stanza dei bottoni" bernese, in un periodo in cui l'assetto politico elvetico si avviava, con una nuova Costituzione, a fare della piccola Confederazione un modello di stabilità che, in un modo o nell'altro, è sopravvissuto senza grandi scossoni ad oltre un secolo e mezzo di trambusti nel Vecchio continente.

In vita Franscini non godette di grandissima stima da parte dei cuoi contemporanei: gli venne affidato il dipartimento meno prestigioso, quello degli interni (poco influente a causa delle larghe autonomie cantonali), e non venne nemmeno rieletto in Consiglio nazionale dal suo cantone, a quel tempo premessa indispensabile per mantenere lo scranno di ministro. Fortunatamente, grazie ad un escamotage (un "ripescaggio" come rappresentante del Canton Sciaffusa), riuscì a conservare la sua carica, mantenendola fino alla sua prematura scomparsa, avvenuta il 19 luglio 1857. 

Nonostante la sua scarsa popolarità (dovuta forse anche ad un'imperfetta conoscenza della lingua tedesca), il Franscini è oggi considerato tra i politici più influenti della storia elvetica recente: il primo censimento federale, che organizzò praticamente da solo, fu determinante per la creazione dell'Ufficio federale di statistica, e il suo ruolo fu pure determinante nella fondazione del Politecnico Federale, ancor oggi scuola universitaria di livello mondiale (a cui però non riuscì ad accedere come insegnante di statistica). I suoi pionieristici lavori nel campo della statistica, testimoniati ad esempio dalla sua Statistica della Svizzera) gli sono pure valsi una menzione nell'Encyclopedia of Mathematics della Springer (qui).

Prima di dedicarsi alla politica federale, il giovane Franscini si adoperò per ammodernare il sistema educativo ticinese, contribuendo pure con opere scritte di suo pugno. Fra di esse vi è un'Aritmetica elementare, uscita in prima edizione nel 1829, di cui riporto l'Introduzione (fotografata, forse abusivamente, da una malridotta copia conservata alla Biblioteca cantonale):

Forse riparlerò di quest'opera, ormai quasi dimenticata, che per decenni ha influenzato il modo di insegnare nelle scuole ticinesi quella che ai miei tempi si chiamava ancora "aritmetica". 

Trent'anni fa la RSI, in un periodo in cui in televisione era ancora possibile proporre cose di questo tipo, produsse una docu-fiction sulla vita dello statista leventinese. È possibile recuperarla a questo link; la scena finale (l'inaugurazione del celebre busto, opera di Vincenzo Vela), è liberamente ambientata nello scalone da cui transito quotidianamente, nell'istituto fortemente voluto dal Franscini e da un'altra figura di spicco dell'ottocento ticinese, l'esule milanese Carlo Cattaneo.

Turing vs Turing

Sono sempre più convinto che il cinema non sia il mezzo più adatto per raccontare una storia complessa. Negli ultimi giorni ho (finalmente!) visto The Imitation Game (con il bravo Benedict "Sherlock" Cumberbatch nel ruolo principale), e di seguito ho letto l'omonima graphic novel di Jim Ottaviani e Leland Purvis. Entrambe le opere cercano di condensare la vita del geniale matematico inglese, basandosi soprattutto sul libro Alan Turing: The Enigma di Andrew Hodges con risultati senz'altro notevoli, ma la narrazione del fumetto, visto lo spazio a disposizione, si rivela senz'altro più soddisfacente. In particolare, Ottaviani e Purvis contestualizzano un po' meglio il ruolo di Turing e dei suoi associati durante il periodo bellico; ad esempio, la pellicola potrebbe dare l'impressione che Turing sia stato l'unico inventore delle bombe impiegate nella decrittazione, basate invece su prototipi ideati in polonia dal crittologo Marian Rejevski e perfezionati a Bletchley Park con l'aiuto del collega Gordon Welchman.
E se qualcuno fosse interessato all'origine del titolo The Imitation Game, qui può consultare il celeberrimo saggio Computing Machinery and Intelligence, pubblicato da Alan Turing nel 1950 sul numero 49 della rivista Mind. 

Number theory

Per caso mi sono imbattuto in questo brano del songwriter statunitense Richard Potter, credo piuttosto sconosciuto. Il pezzo, musicalmente, è senz'altro divertente, un po' pulp fiction-esco, e la cover dell'album omonimo non può certo non attirare la nostra attenzione...

Dieci anni...

... e tre giorni, perché il decimo anniversario vero e proprio cadeva il 24 agosto, ma in questo vero e proprio annus horribilis per il blog non sono riuscito a rispettare nemmeno questa scadenza. Me ne sono ricordato solo ora, a poche ore dall'inizio (ufficiale) del mio quindicesimo anno d'insegnamento (il quinto da quando ho iniziato a dovermi occupare non solo delle mie lezioni...).

Cose da scrivere ne avrei; spero di averne il tempo.

Sono stato a Oxford...

... ma come turista, poiché non posso certo ambire ad andarci come matematico. Giusto il tempo di una breve visita, penultima tappa di un "tour" che ci ha condotti da Stonehenge alla Cornovaglia, per terminare al castello di Windsor. Non ho quindi avuto il tempo di occuparmi di matematica (ma negli ultimi mesi, ahimè, me ne sono occupato ben poco...), a parte l'acquisto di un volume (questo) che ha risvegliato il mio interesse nel bookshop dell'Oxford University Press. Comunque, sulla parete di fondo dello sfarzoso salone del Christ Church, mi sono imbattuto nel ritratto di un celeberrimo esponente della nostra disciplina, il reverendo Charles Lutwidge Dodgson (ho parlato di lui anche qui), che lassù insegnò per 26 anni.

La matematica dei mattoncini

A qualcuno di voi verrebbe mai in mente di riempire la lavatrice di mattoncini Lego "per vedere di nascosto l'effetto che fa"? A me no di certo, ma ad un serio professore dell'Università di Jena, Ingo Althöfer, la cosa dev'essere sembrata interessante, perché su quest'idea ci ha pure scritto un breve paper, dal titolo Random Lego Structures from Lego Bricks and Analog Monte Carlo Procedures, scaricabile qui. Ma Althöfer non è l'unico ad essersi fatto ispirare dai popolari mattoncini per parlare di matematica: in rete si trovano innumerevoli proposte didattiche indirizzate ai più piccini (qui, ad esempio), ma anche lavori più "tosti", come questo The entropy of LEGO, di due autori dal nome pressoché impronunciabile, dove, fra le altre cose, si dimostra che i modi per costruire una torre di sei mattoncini 4x2 (i più classici dei mattoncini) sono esattamente novecentoquindici milioni centotremila settecentosessantacinque.

Storie di numeri - 3

Con Il museo dei numeri (sottotitolato Da zero verso l'infinito, storie dal mondo della matematica), anche Piergiorgio Odifreddi si cimenta in un personalissimo catalogo dei numeri e delle loro peculiarità, in un volume elegante e coloratissimo, tipograficamente simile alla sua trilogia geometrica.

Il libro si apre con un breve preambolo dedicato alla genesi dei sistemi di numerazione, per poi condurci in un viaggio da zero alle "superpotenze di 10", mescolando matematica, storia e arte, mostrando ancora una volta, se ce ne fosse bisogno, che, checché se ne dica, la matematica è parte integrante della nostra Cultura, e da essa è  indistricabile.

Purtroppo l'ho letto tempo fa, e il ricordo è un po' sbiadito, ma una cosa la ricordo: non mi sono pentito di averlo acquistato.

Simmetrie andaluse

Ne sentivo parlare da una vita, e finalmente l'ho potuta visitare. Parlo dell'Alhambra, probabilmente la più spettacolare testimonianza dell'arte islamica sopravvissuta in occidente (ma anche l'Alcazar di Siviglia non scherza...). La fortezza, che domina dall'altro la città di Granada, costruita nel XIV secolo come reggia per il sultano, venne conquistata nel 1492 dall'esercito spagnolo, diventando palazzo reale di Ferdinando d'Aragona e Isabella di Castiglia. Questi ne modificarono struttura e decorazioni, nascondendole in parte (ma contribuendo involontariamente alla loro preservazione); il sacro romano imperatore Carlo V contribuì a sua volta al degrado della struttura, lasciandoci un palazzo tuttora incompleto; nel XIX secolo l'esercito francese, guidato dal conte Sebastiani, e l'ennesimo terremoto causarono danni ulteriori, ma nel contempo la fortezza acquisì notorietà, grazie anche allo scrittore e diplomatico Washington Irving (quello di Rip Van Winkle e Sleepy Hollow), che vi soggiornò e le dedicò una raccolta di brevi saggi e racconti (che ho acquistato in loco e che ho iniziato a leggiucchiare). Tra il XIX e il XX secolo l'Alhambra è stata oggetto di un'imponente campagna di restauri che forse non le hanno restituito tutto lo splendore originale, ma che ne fanno una delle mete turistiche più gettonate al mondo, patrimonio UNESCO dell'umanità e inserita tra le 20 finaliste nell'iniziativa New7Wonders of the World. E non sono pochi gli artisti, Escher in primis (ne ho parlato anche qui), che ne hanno tratto ispirazione per le loro opere.

È noto che l'arte islamica è stata fortemente influenzata dal timore, se non addirittura dalla proibizione esplicita, di rappresentare la figura umana, che in alcune interpretazione dei testi sacri si configurerebbe come idolatria. Ciò ha portato, più che in altre culture, allo sviluppo di arti quali la calligrafia e la tassellazione. Ed è proprio quest'ultima a colpire il visitatore all'interno dell'Alhambra (e, in misura un po' minore, dell'Alcazar di Siviglia e della Mezquita di Cordova, le altre due mete del mio viaggio pasquale): in alcuni degli ambienti, le pareti sono ricoperte da raffinatissime e intricatissime figure perfettamente simmetriche, in cui qualcuno (ad esempio qui) ha verificato la presenza di tutti e 17 i gruppi cristallografici piani (quelli classificati indipendentemente da Fedorov nel 1891 e da Polya nel 1924). All'Alhambra fa riferimento pure Hermann Weyl, nel suo classico Symmetry, del 1952.
Sull'Alhambra e sulle sue simmetrie in rete si trova un po' di tutto: mi limito a segnalare la passeggiata di Rafaél Pérez Goméz, apparsa sul numero III del semestrale Ithaca. Ma l'Alhambra non può essere apprezzata online o sui libri; va visitata, almeno una volta.

Così è l'Alhambra, palazzo mussulmano nel cuore di una terra cristiana, edificio orientale tra costruzioni gotiche occidentali, elegante vestigia di un popolo valoroso, intelligente e raffinato, che conquistò, dominò e svanì.
(W. Irving, Racconti dell'Alhambra, trad. di B. Cserska-Garanzini)

La Sagrada matematica

Sono passate ormai alcune settimane dalla mia visita lampo a Barcellona, tappa di una simpatica crociera mediterranea. Nelle poche ore trascorse nel capoluogo catalano, non ho voluto farmi mancare la visita alla Sagrada Familia, eterno cantiere inaugurato nel lontano 1882, che in occasione della mia precedente visita, una dimenticabile "gita di studio", non era ancora accessibile internamente. Il suo principale artefice, Antoni Gaudì, che ne curò la costruzione dal 1882 al 1926, anno della sua tragica scomparsa, si autodefiniva "un geometra". E di geometria trasuda letteralmente la basilica minore catalana, come testimonia il piccolo museo situato sotto la chiesa: ellissoidi, elicoidi, iperboloidi e paraboloidi contribuiscono da un lato all'inconfondibile estetica dell'opera, e dall'altro ne garantiscono la stabilità. Per conferire maggiore coerenza estetica, l'architetto concepì addirittura un sistema di proporzioni ad hoc (per saperne di più, si può consultare la pagina ufficiale del monumento, a questo link). E all'uscita, non è possibile non notare il quadrato magico che l'artista Josep Subirachs scolpì sulla facciata della passione, il cui controverso stile contrasta nettamente con quello imposto dal Gaudì. Si tratta di un quadrato magico non regolare di costante magica 33 (gli anni di Cristo), evidente omaggio ad Albrecht Dürer.

Encore une fois à Milan...

Sono stato di nuovo a Milano, per visitare, finalmente, il Museo del Novecento, dopo aver visto molte volte soltanto la composizione al neon (di Lucio Fontana) attraverso i finestroni che dall'ultimo piano del Palazzo dell'Arengario si affacciano su Piazza del Duomo. 

Quasi al termine della visita, dopo aver ammirato capolavori di maestri quali Pellizza da Volpedo, Boccioni, De Chirico, Morandi, Tancredi, Manzoni, del già menzionato Fontana, dopo aver attraversato la passerella che conduce nelle sale allestite dentro Palazzo Reale, dopo aver firmato la liberatoria che scarica il Museo da ogni responsabilità nel caso che gli ambienti del Gruppo T scatenino una crisi epilettica, siamo finalmente approdati alle sale dedicate all'arte povera, dove non poteva mancare l'n-esima successione di Fibonacci al neon prodotta da Mario Merz, nella fattispecie Zebra (Fibonacci), del 1973 (il pianoforte, a quanto ne so, non c'entra...):

La scelta di accostare una zebra alla successione di Fibonacci non è certo casuale. In effetti, la successione resa popolare dal matematico pisano attraverso il Liber Abaci rappresenta forse il primo esempio di (abbozzato) tentativo di spiegare un fenomeno biologico attraverso la matematica, e la formazione delle striscie sul manto della zebra è solo una delle possibili modellizzazioni rese possibili dalle idee introdotte da Alan Turing nel suo pionieristico lavoro (uno degli ultimi, ahimè) The chemical basis of morphogenesis (consultabile qui).

Tra l'altro, coincidenza, poco dopo essere uscito dal museo ho acquistato l'ultimo numero (letteralmente, purtroppo) di Mate, che dedica un articolo al futurista Umberto Boccioni.