Letture...

Telegraficamente, tre cosine che ho letto ultimamente, non particolarmente impegnative ma adatte alle infernali settimane di organizzazione del nuovo anno scolastico.

• Enigma. La strana vita di Alan Turing, graphic novel di Tuono Pettinato (simpatico pseudonimo dell'illustratore Andrea Paggiaro) e Francesca Riccioni: non inganni lo stile volutamente cartoonesco: si tratta di una biografia seria e tragicamente accurata del genio inglese, che riesce con successo anche a parlarci di alcuni argomenti di logica tutt'altro che scontati. Consigliato.
  
• La caduta di un uomo, di David Lagercrantz (l'autore del IV episodio della saga di Millennium). Il romanzo prende le mosse proprio dal suicidio di Turing, per narrarci più che altro le vicende personali di un ispettore di polizia incaricato delle indagini, e per abbozzare una sorta di riflessione sui contrasti della società anglosassone degli anni '50. Piuttosto confuso; non mi ha convinto.
  
• Storia di π (chi meglio di P. Greco poteva parlarci del pi greco?): il rapporto tra circonferenza e diametro è certamente uno degli oggetti più trasversali della matematica, dai suoi esordi puramente  geometrici nel mondo ellenistico alla sua ricomparsa in campo analitico, fino alla scoperta della sua natura trascendente. Il giornalista scientifico Pietro Greco ci conduce in un affascinante viaggio lungo la storia della matematica, utilizzando π come punto di riferimento. Un bel libro, non c'è dubbio.

Maledetta Tivù

Ho dovuto fare un grosso sforzo per vedermi nella trasmissione Maledetta Matematica!, andata in onda su La1 giovedì 16 giugno (perché vedermi o sentirmi registrato mi imbarazza terribilmente). E devo dire che quello che ho visto e sentito mi ha lasciato piuttosto perplesso: capisco la necessità giornalistica di rimandare un messaggio forte (essenzialmente il solito cliché della matematica brutta e cattiva, inutile e dannosa, ostacolo insormontabile per chi vuole realizzare i suoi sogni di bambino ecc. ecc.), ma forse lo si sarebbe potuto fare con maggiore equilibrio, calibrando meglio i toni e scegliendo in modo più oculato i "testimoni". Non sarebbe stato poi così difficile, ad esempio, reperire studenti in grado di esprimere, a proposito delle loro difficoltà in matematica, una profondità di pensiero maggiore di "la odio" e "non l'ho mai capita". Anche perché, contrariamente a quanto mostrato nel documentario, la realtà scolastica non è fatta di pochissimi amanti della matematica e di moltissime vittime di quest'ultima, ma di una stragrande maggioranza di studenti che, con uno sforzo moderato, conseguono risultati di cui si accontentano. E trovo sconcertante che si possa concepire una scuola di cultura generale che si limiti ad assecondare i capricci dei suoi alunni (spesso sostenuti dai genitori), sorvolando su aspetti indispensabili per comprendere quanto ci succede attorno. E a chi rimuoverebbe volentieri la matematica dal percorso liceale va senz'altro fatto capire che ciò comporterebbe un drastico cambiamento del nostro modello di scuola, che costringerebbe i nostri figli a rinunciare molto presto a diventare astronauta, ingegnere, medico (anche veterinario!) o economista. E, per buona pace della ragazzina che "in fondo, vuole insegnare a leggere e scrivere ai bambini", anche maestra. A meno che il "far di conto" oramai non sia più rilevante (ma attenzione: l'istruzione primaria è un passaggio fondamentale nella costruzione del pensiero logico-deduttivo).

Molto suggestiva, tra l'altro, la sequenza conclusiva, cui fa da sottofondo la splendida Twist in my sobriety di Tanita Tikaram. Il testo della canzone, allucinato ed enigmatico, si apre con le parole All God's children need traveling shoes: ebbene, uno degli scopi della scuola è proprio quello di fornire ai giovani le "scarpe" per viaggiare attraverso la vita. Togliendo la matematica e le conoscenze ad essa correlate, rischieremmo di vederli partire con le scarpe già bucate...

Psicomatematica

Ho appena terminato di leggere L'uomo che credeva di essere Riemann, singolare incontro romanzato tra matematica e psicanalisi uscito un paio d'anni fa dalla penna di Stefania Piazzino. La trama è presto riassunta: un matematico di fama mondiale, apparentemente scosso dalla notizia della dimostrazione della celebre congettura di Riemann, improvvisamente assume, in modo lucido e consapevole, l'identità del matematico tedesco. Ad occuparsi del caso viene chiamato un celebre psichiatra, che intreccia con lo studioso un rapporto di amicizia e che riuscirà infine, con la collaborazione di un giovane aspirante matematico, a farne riemergere la personalità. A fare da contorno alla vicenda l'autrice imbastisce una (maldestra) spy-story, a base di loschi individui che cercano di sfruttare il talento del protagonista per scardinare la sicurezza delle reti informatiche (trovata poco verosimile, che stiracchia la suspension of disbelief del lettore-matematico oltre il punto di rottura (a meno che la dimostrazione della Congettura non contenga anche un algoritmo veloce per fattorizzare gli interi)). Di matematica nel libro non ce n'è molta (anzi, non ce n'è del tutto), ma oltre agli accenni alla biografia di Riemann l'autrice dissemina qua e là alcuni celebri aneddoti della storia della disciplina (il calcolo dell'orbita di Cerere da parte di Gauss, l'incontro tra Hardy e Ramanujan, la prigionia di André Weil, il teorema dei quattro colori).

Tutto sommato una lettura gradevole. Il libro, vista anche la sua brevità, si legge tutto d'un fiato, anche se, a dire il vero, la suspense promessa nella quarta di copertina risulta essere del tutto assente...

La magia dei numeri di Fibonacci

Direttamente da Edimburgo (meta delle mie prossime vacanze estive), un TED Talk in cui il matemago Arthur Benjamin ci illustra la bellezza del ragionamento matematico con una dimostrazione "senza parole" di una delle tante proprietà dei numeri di Fibonacci, la relazione 

$$
\sum_{i=1}^n f_i^2 = 1^2+1^2+2^2+ 3^2+5^2+\ldots+ f_n^2 = f_{n} \cdot f_{n+1} \; ,
$$ che può essere intuita semplicemente osservando il disegno sottostante:

Fibonacci e Binet - 2

La linearizzazione delle potenze di $\phi$ non è l'unico metodo per ricavare la formula di Binet. In alternativa si può fare uso della cosiddetta matrice di Fibonacci

$$
F=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$
per cui vale
$$
F^2=
 \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
 F^3=
 \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
F^4= \begin{pmatrix}
5 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
\,,\,
F^5= \begin{pmatrix}
8 & 5 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
 $$
e più in generale, com'è relativamente semplice mostrare induttivamente, 
$$
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
$$

dove $(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7\ldots)=(1,1,2,3,5,8,13,\ldots)$ rappresenta la successione di Fibonacci. Essenzialmente, occorre quindi calcolare le potenze di $F$ in modo efficiente.

Iniziamo determinando gli autovalori di $F$; il suo polinomio caratteristico è il "polinomio aureo" 

$$
p_F(\lambda)={\rm det}(F-\lambda I_2)=\lambda^2-\lambda-1
$$
i cui zeri sono gli autovalori di $F$
$$
\lambda_1=\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2} \quad,\quad
\lambda_2=\rho=-\frac{1}{\phi}=1-\phi=\frac{1-\sqrt 5}{2} \;.
$$
Per i relativi autospazi vale
$$
S_\phi={\rm Ker}(F-\phi I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \rho
\end{pmatrix}
\right>
$$
e
$$
S_\rho={\rm Ker}(F-\rho I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \phi
\end{pmatrix}
\right> \;.
$$
Di conseguenza, per
$$
B=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ \rho & \phi
\end{pmatrix}
$$
vale
$$
F=
B
 \begin{pmatrix}
\phi & 0 \\ 0 & \rho
\end{pmatrix}
B^{-1}
$$
e
$$
F^n =
B
 \begin{pmatrix}
\phi^n & 0 \\ 0 & \rho^n
\end{pmatrix}
B^{-1}
= \ldots =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
\phi^{n+1}-\rho^{n+1} & \phi^n-\rho^n \\  \phi^n-\rho^n & \phi^{n-1}-\rho^{n-1}
\end{pmatrix} \:.
$$
Dal confronto delle componenti con
$$
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
segue immediatamente che
$$
f_n =  \frac{ \phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}} \quad,
$$
come volevasi dimostrare.