Maths à Paris

Da una settimana, oramai, siamo rientrati da una stupenda vacanza parigina. E nella Ville Lumière, tra musei, monumenti, concerti e musical (con una puntatina a Marne-la-Vallée, d'obbligo vista l'insistenza dei miei figli...) non poco mi ha parlato di matematica, tra le strade del Quartier Latin, al Panthéon, o tra i viottoli del Père-Lachaise...

Tra l'altro, in un chiosco, ho acquistato l'interessante pubblicazione Réviser son bac avec Le Monde - Mathématiques, interessante iniziativa editoriale del serale parigino destinata ad un ripasso in vista della maturità, corredato da una scelta di interessanti interventi di matematici di primo piano, come Etienne Ghys o Cédric Villani.

Fractal zoom

Non è difficile immaginarsi la prima traccia dell'album Nerve Net, prodotto da Brian Eno nel 1992, come sottofondo di una carrellata attraverso i meandri dell'insieme di Mandelbrot...

A dire il vero, ho scoperto la musica del poliedrico musicista inglese solo un paio d'anni fa, nel corso di una visita alla Reggia di Venaria Reale, per la quale Eno ha composto la musica che risuona nell'imponente Galleria Grande (rielaborata, tra l'altro, nell'album Lux, che spesso mi fa da sottofondo mentre lavoro).

Cubitis magikia

... ossia: "un grave disturbo mentale, accompagnato da prurito ai polpastrelli, cui è possibile dare sollievo solo tramite il contatto prolungato con un cubo multicolore originario dell'Ungheria e del Giappone. I sintomi persistono spesso per mesi. Altamente contagioso."

Così si apre Magic Cubology, uno tra i più noti Metamagical Themas di Douglas Hofstadter, apparso su Scientific American nel marzo 1981 (e disponibile nell'omonima raccolta), dedicato all'aggeggio che, fin dagli anni '80, è noto ai più come cubo magico (o Cubo di Rubik, dal nome del suo inventore ufficiale, l'architetto ungherese Ernö Rubik). Vera e propria icona degli anni '80, le sue proprietà combinatorie non potevano passare inosservate all'interno della comunità dei matematici: in particolare, non sono pochi i testi di introduzione alla teoria dei gruppi che a fini didattici fanno efficacemente uso del suo gruppo di trasformazioni (vedi ad esempio qui, qui e qui). Si tratta un sottogruppo del gruppo di permutazioni $S_{48}$ generato da sei particolari trasformazioni (corrispondenti alla rotazione di una delle facce), isomorfo a

$$
\left( \mathbb Z_3^7 \times \mathbb Z_2^{11} \right)
\rtimes \left( \left( A_8 \times A_{12} \right) \rtimes \mathbb Z_2 \right)
$$

(dove $\mathbb Z_p= \mathbb Z / p\mathbb Z$, $A_n$ è il gruppo alterno  e $\rtimes$ rappresenta il prodotto semidiretto), per un totale di

$$
3^7 \cdot 2^{11} \cdot \frac{8!}{2} \cdot \frac{12!}{2} \cdot 2
= 43\,252\,003\,274\,489\,866\,000 \cong 4,3 \cdot 10^{19}
$$

possibili trasformazioni. Ma la cosa sorprendente è che il cubo può essere risolto a partire da qualsiasi configurazione iniziale in meno di 20 mosse, per lo meno applicando un cosiddetto algoritmo divino (dove si suppone cioè che il risolutore sia onnisciente, ed esegua quindi ad ogni passo la mossa ideale).

Devo ammettere che da adolescente prestai ben poco interesse al Cubo: me ne ragalarono uno, ma non andai mai oltre la faccia "con i laterali". Mio figlio, recentemente, si è dimostrato ben più perseverante di me: studiandosi su YouTube gli algoritmi necessari, nel giro di un paio di giorni ha imparato a completare in qualche minuto il rompicapo. Ecco documentata tutta la sua soddisfazione dopo il suo primo tentativo riuscito:

3n+1 parte 2 - Il frattale di Collatz

Gli insiemi numerici $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ sono relativamente poveri dal punto di vista strutturale. Spesso, quindi, i problemi sui numeri interi vengono riformulati in ambito complesso, permettendo di mettere in campo l'"artiglieria pesante" della teoria delle funzioni. Non è difficile, ad esempio, ottenere dalla funzione di Collatz una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss. Partendo dalla sua versione abbreviata

$$ c(n)=
\begin{cases}
\frac{1}{2}n &\,, n \in 2\mathbb Z \\
\frac{1}{2}(3n+1) &\,, n \in 2\mathbb Z +1
\end{cases}
$$

tutto quello di cui necessitiamo sono due funzioni analitiche $f_1(z)$ e $f_2(z)$ che assumano i valori $1$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari, e viceversa, ad esempio 

$$
f_1(z)=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad,\quad
f_2(z)=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad.
$$ Definiamo quindi
$$
c(z) = \frac{1}{2}z\cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)
+ \frac{1}{2}(3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \; ; $$ con l'aiuto di un po' di goniometria calcoliamo
\begin{eqnarray*}
c(z) &=&
\frac{1}{2} \left( z\left(1-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right)
+ (3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)\right) \\
&=&
\frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right) \\
&=&
 \frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\cdot\frac{1}{2}(1-\cos(\pi z)) \right) \end{eqnarray*} ricavando infine
$$
c(z)= \frac{1}{4}\left( 4z+1-(2z+1)\cos(\pi z)\right) \quad.
$$

Studiando i valori di $z \in \mathbb C$ per cui l'iterazione successiva di tale funzione converge risp. diverge si ricava il suggestivo frattale di Collatz:

Qualche lettura...

Non mi resta moltissimo tempo per leggere, purtroppo. In particolare, le mie nuove occupazioni mi rendono difficoltosa la lettura di testi impegnativi (di matematica "vera", ad esempio): riesco a leggere solo la sera, prima di addormentarmi, solitamente finché il libro mi cade di mano. Ma oltre a romanzi di Steinbeck, Child, Manzini, Grisham e Bartlett negli ultimi mesi sono riuscito a leggiucchiare anche qualche saggio non troppo lontano dalla matematica.

• Innumeracy. Mathematical Illiteracy and its Consequences, di John Allen Paulos. Il titolo, sormontato da un neologismo traducibile forse con innumeratismo, ci dice già di che cosa si tratta: di una disquisizione sull'"illetteratismo matematico" e sulle sue conseguenze. L'autore si sofferma in particolare sulle possibili conseguenze dell'ignoranza dei principi più basilari del ragionamento logico, del calcolo mentale (quindi dell'incapacità di stimare) e del calcolo delle probabilità, che genera un substrato ideale per il diffondersi delle pseudoscienze (l'astrologia!) e ci rende vulnerabili alle truffe (Paulos cita lo stesso raggiro menzionato da Malvaldi nel suo ultimo romanzo).
• Capra e calcoli. L'eterna lotta tra gli algoritmi e il caos,  di Marco Malvaldi (ancora lui) e Dino Leporini. Lasciati da parte per un momento i vecchietti del BarLume, il chimico Malvaldi, assieme al fisico Leporini (entrambi sono esperti in scienze computazionali), ci propone un viaggio attraverso la storia delle applicazioni del computer, mettendone ben in risalto i pregi e i difetti (questi ultimi dovuti essenzialmente all'eccessiva fiducia nella macchina, che spesso ci spinge ad utilizzarla in modo totalmente acritico), parlandoci di simulazioni, di realtà virtuale, di bolle immobiliari, e guarda un po', anche di filosofia. Leggetelo.
• Contro il colonialismo digitale. Istruzioni per continuare a leggere. Come ha ribadito nel corso di una conferenza a cui ho assistito di recente, Roberto Casati (filosofo, direttore di ricerca al CNRS) non è contrario alle nuove tecnologie. Lo è, però, alle cattive applicazioni di queste ultime, come l'introduzione a tutti i costi dell'e-book in ambito didattico o l'uso a tutti i costi delle lavagne interattive, costose, poco pratiche e rapidamente obsolete (nella conferenza ha inoltre citato Spritz!: ricerca di ottimo livello, applicata però in modo discutibile). Interessante la sua posizione sui cosiddetti nativi digitali, che condivido pienamente: semplicemente, non esistono! Da leggere.
• Sette brevi lezioni di fisica, di Carlo Rovelli. Ispirandosi ai Sei pezzi facili di Richard Feynman, il mio illustre quasi omonimo (Carlo è il mio secondo nome) condensa in poche, piccole pagine alcune grandi idee della fisica. Nessuna matematica (il libro è indirizzato a chi la fisica non la conosce), gradevole stile discorsivo (i contributi sono apparsi originariamente sul supplemento domenicale del Sole 24 Ore), il libro non può che rappresentare un invito ad approfondire (difatti sono già passato a Feynman).