16 note

 Già, 16 note. Per la precisione queste:

Forse qualcuno la riconoscerà; si tratta probabilmente della sequenza più citata della storia della musica, per lo meno negli ultimi quarant'anni. È il tema che apre il Canone in re maggiore di Johann Pachelbel, vero e proprio monumento della musica occidentale. Ascoltiamolo, nell'interpretazione di Jean-François Paillard, che nel 1968 lo rilanciò dopo quasi tre secoli di oblio, magari seguendolo sullo spartito (in rete ne sono disponibili diverse versioni, ad esempio qui):

E, per chi pensasse che sto andando fuori tema, aggiungo immediatamente che un canone è un brano musicale dotato di simmetria traslazionale, e che la struttura di questo particolare esempio, che consiste di una serie di brevi variazioni, la rende interessante anche dal punto di vista combinatorio. Per altre informazioni il lettore interessato potrà cliccare qui.

Liquidata la matematica, torniamo all'"ecc.". Come dicevo, pochi brani, forse nessuno, possono vantare l'ubiquità del Canone, in particolare nella musica leggera (Peter Waterman l'ha definito almost the godfather of pop music): dopo la "riscoperta" da parte di Paillard, moltissimi sono stati gli autori che ne hanno fatto uso, incastonandolo in parte o per intero all'interno dei brani più disparati, dal kitsch sublime della celeberrima Rain and tears (con l'arrangiamento di Vangelis e la voce inconfondibile di Demis Roussos), passando per altri brani conosciutissimi della musica leggera come Say you, say me di Lionel Richie o Go West, interpretato originariamente dai Village People e ripreso dal duo Tennant&Lowe (che al mix aggiungono pure l'inno russo, che a sua volta qualcosa al Canone deve), con qualche escursione pure nel mondo della musica rap (C U when U get there, di Coolio, e Life goes on di Tupac Shakur). Più ricercate e sperimentali sono poi le revisitazioni di Brian Eno contenute nell'album Discreet Music.

Per curiosità, con l'aiuto di Spotify mi sono divertito a compilare una playlist che, assieme ad un paio di interpretazioni del Canone, contiene un bel po' di esempi in cui esso viene utilizzato. Eccola qui (sarei grato a chiunque mi aiutasse ad ampliarla):

Com'è umana lei...

Ho scoperto per caso Chiara Valerio, scrittrice, giornalista e matematica, grazie ad uno strano doppio racconto pubblicato nell'antologia Storie della città eterna. Una ricerca in rete mi ha rivelato l'imminente uscita di un nuovo libro della stessa autrice, dallo stimolante titolo Storia umana della matematica, che ho immediatamente acquistato e letto. Dalla descrizione non mi era ben chiaro quello che mi sarei potuto aspettare: i titoli dei capitoli promettevano forse una collezione di brevi scritti biografici dedicati ad alcuni protagonisti, noti e meno noti, della matematica degli ultimi due secoli (Bolyai padre e figlio, Riemann, Laplace, Picone, Landau, Wiener), magari da un punto di vista inedito, ma il libro è in realtà qualcosa di diverso. Un po' di biografia c'è, sì, ma i personaggi citati servono più che altro ad incanalare un flusso abbastanza libero di pensieri, che dalla matematica si muove verso la letteratura, la filosofia e la storia della scienza, con una buona dose di autobiografia (forse un po' troppa, ma probabilmente il senso del libro era proprio questo). Ad esempio, il capitolo dedicato a Bernhard Riemann e ai suoi progressi nella definizione del concetto di dimensione lascia ampio spazio al Flatland di Abbott e al saggio di Helmholtz sugli assiomi della geometria, senza dimenticare Mork e Mindy e Space Invaders (il genere di ammiccamenti che solitamente apprezzo). La biografia di Laplace, invece, lascia ben presto spazio al Giocatore di Dostoevski, e da Norbert Wiener si sconfina rapidamente nella fantascienza, da Eva Futura a Blade Runner, passando per il Ciclo della Fondazione di Isaac Asimov.

Il libro non mi è del tutto dispiaciuto (non è piaciuto per nulla, invece, a Umberto Bottazzini, cfr. qui), ma confesso che nel guazzabuglio di pensieri e citazioni dotte e meno dotte ho un po' faticato a trovare la rotta nello stream of consciousness dell'autrice.

Prosta - che?

Le formule di prostaferesi, abbastanza note agli studenti liceali, come
$$
\cos(\alpha)+\cos(\beta)= 2\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \; ,
$$

rappresentano (al pari del logaritmo, che precedono di qualche decennio), una relazione tra addizione e moltiplicazione di numeri reali (di fatto, con la formula di Eulero non è difficile mostrare che si tratta di un'altra faccia della stessa medaglia). Quello che però non molti sanno è che per una trentina d'anni, a partire dal 1580 circa, il cosiddetto metodo di prostaferesi fu sfruttato dagli astronomi (Come Tycho Brahe) per semplificare il calcolo dei prodotti. Esso si basa sulle formule "inverse", dette di Werner (dal nome del matematico tedesco Johann Werner, che le derivò all'inizio del XV secolo); la versione per il coseno, derivabile dalla soprastante rimpiazzando $\alpha$ e $\beta$ con $\alpha+\beta$ e $\alpha-\beta$ rispettivamente, è

$$
\cos(\alpha)\,\cos(\beta) = \frac{1}{2}( \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) \, .
$$

Volendo, ad esempio, calcolare il prodotto $1,5 \cdot 2,5$ (come abbiamo fatto qui con l'aiuto dei logaritmi) scriviamo innanzitutto, con l'aiuto delle tavole per il coseno (queste, ad esempio),

$$
1,5 \cdot 2,5 = 100 \cdot 0,15 \cdot 0,25 \cong 100 \cdot \cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ)
$$ e quindi, con la formula di Werner e nuovamente con le tavole,
\begin{eqnarray*}
\cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ) &=&
\frac{1}{2}( \cos(156,9^\circ) + \cos(5,9^\circ)) \\
&=&
\frac{1}{2}( -\cos(23,1^\circ) + \cos(5,9^\circ))
\cong 0,037441
\end{eqnarray*}

da cui si ricava $1,5 \cdot 2,5 \cong 3,7441$, con un errore dello 0,16% circa rispetto al risultato esatto. Sulla scorta di questo esempio non è difficile immaginare come tale metodo, abbastanza macchinoso, sia stato rapidamente spazzato via dalla scoperta dei logaritmi.

Un altro esempio di calcolo di questo tipo, opera di Brian Borchers, è disponibile qui, assieme a qualche cenno storico. Chi volesse approfondire maggiormente gli aspetti storici della questione può inoltre consultare (qui) il saggio Prostaphaeresis Revisited, apparso sulla rivista Historia Mathematica nel 1988, dove lo storico dell'astronomia Victor E. Thoren fa un po' di luce sull'attribuzione di un metodo che, seppure oscuro, ha certamente rappresentato una tappa importante nell'evoluzione del calcolo numerico.

Storie di numeri - 1

S'intitola semplicemente Numeri il saggio pubblicato un annetto fa dal matematico, storico della matematica e divulgatore Umberto Bottazzini per l'editore  il Mulino. Abbastanza breve e di agile lettura, il volumetto, senza scendere troppo nei particolari, ci conduce attraverso millenni di storia della matematica, dall'osso di Vestonice (ca. 30000 a.C.) ai teoremi di Gödel, parlandoci da un lato dell'evoluzione della nozione di numero, dall'altro del modo in cui i numeri vengono scritti. Gli argomenti trattati sono piuttosto classici, e all'autore riesce di trasmetterceli con un linguaggio semplice e diretto, adatto anche al lettore occasionale. L'ordine dei capitoli del libro è prevalentemente cronologico: l'apertura è dedicata alla nascita del "senso del numero", comprendendo anche qualche considerazione sulla percezione numerica nel mondo animale. Si prosegue con la rappresentazione dei numeri nell'antichità (babilonese e egizia, in particolare), per poi passare alla matematica "vera", con le scoperte della matematica greca (come l'incommensurabilità tra segmenti, che in ambito numerico si traduce nell'irrrazionalità, i numeri primi e i numeri perfetti), con una serie di flash-forward che essenzialmente traducono nel linguaggio numerico le intuizioni prevalentemente geometriche proprie della matematica di Euclide & co.

A fare da spartiacque tra gli argomenti "classici" e moderni (numeri complessi, reali e oltre) vi è poi un capitolo sulle figure degli indi, ossia le "cifre arabe", migrate da oriente a occidente in particolare grazie a Fibonacci e al suo Liber abaci.

Insomma, un libro ricco di spunti, che ben si presta all'introduzione in un universo, quello numerico, in cui perdersi (piacevolmente) non è difficile.

Omicidi avanzati

A distanza di qualche anno, ho letto anche la seconda avventura del matematico/detective Don Brodsky, creato dal matematico/scrittore statunitense Erik Rosenthal. Se il primo libro, tutto sommato, qualche punto positivo l'aveva, qui non ci siamo proprio. L'autore intreccia, in un modo piuttosto maldestro, due trame: in quella principale, Brodsky indaga sull'omicidio di un collega avvenuto durante un congresso di matematica (sulla teoria degli operatori e sulle algebre C*, per la precisione); la trama secondaria, invece, lo vede impegnato nella ricerca di una ex attricetta per conto della figlia. Scontato, noioso, inefficace: sono solo alcuni degli aggettivi che mi vengono in mente per definire il romanzo. L'unico punto a suo favore, forse, è la descrizione, da insider, di alcune dinamiche che si instaurano all'interno del mondo accademico, tra professori più o meno influenti e prestigiosi e ricercatori di belle (o meno belle) speranze.