Mandrakata

Il titolo di questo post (un'esclamazione in romanesco che fa riferimento al mago dei fumetti creato da Lee Falk nel lontano 1934) rappresenta l'espressione più simpaticamente bizzarra che mi sia capitato di ascoltare nel corso di un seminario di matematica. A pronunciarla, oramai più di un annetto fa, è stato il prof. Camillo de Lellis, in occasione di un simposio organizzato per i docenti ticinesi dalla CMSI per commemorare la figura del "matematico rivoluzionario" Evariste Galois. Il tema della lezione tenuta da De Lellis era particolarmente stimolante: l'inesistenza di una primitiva elementare della funzione

$$ x\mapsto y = e^{x^2} \quad, $$ che ci costringe a ricorrere a tabelle o computer per determinare le probabilità nel caso di una distribuzione normale, quando cioè la funzione di densità di probabilità è riconducibile alla gaussiana $$ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12x^2} \quad. $$ Si tratta di un fatto noto più o meno a chiunque ha frequentato un liceo di indirizzo scientifico, del quale però nemmeno la maggior parte dei matematici conosce la dimostrazione. In effetti, pur avendo un retrogusto analitico, la dimostrazione classica di questo enunciato (dovuta inizialmente a Liouville) fa uso di strumenti decisamente algebrici. Non si tratta di teoria di Galois vera e propria (dal momento che i gruppi di Galois non fanno la loro comparsa), ma i metodi utilizzati sono certamente imparentati con le idee dello sfortunato matematico francese. Essenzialmente, si tratta di dimostrare che $e^{x^2}$ non fa parte di alcuna "estensione elementare" del campo differenziale $\mathbb C(x)$, ottenuta cioè aggiungendo al campo delle funzioni razionali complesse soltanto funzioni esponenziali e logaritmiche (le trigonometriche saranno poi automaticamente incluse in virtù della formula di Eulero). Chiaramente, parte del lavoro (non la più difficile, però) consiste nell'inquadrare nell'ambito algebrico nozioni che solitamente vengono trattate con il linguaggio del calcolo infinitesimale. I dettagli della dimostrazione, ispirata sì da Liouville ma anche da semplificazioni dovute a Ostrowski e Rosenlicht, sono disponibili sia sull'ultimo Volterriano (vedi qui) che sulla pagina personale dell'autore (qui).

Un assaggino di topologia

Il Teorema di Jordan (più o meno "ogni curva chiusa e non intrecciata suddivide il piano in due componenti") rappresenta un caposaldo della moderna topologia. Eccone una breve presentazione a cura dei coniugi Eames (vedi anche qui): 

A dispetto della sua apparente semplicità, il teorema in questione non possiede (ancora?) una semplice dimostrazione. Esso può essere ricavato abbastanza velocemente con l'aiuto di strumenti omologici, oppure con maggior sforzo attraverso considerazioni "elementari" (nel senso matematico del termine). Qui, ad esempio, è riportata una dimostrazione basata sul Teorema del punto fisso di Brouwer, pubblicata da Riuji Maehara nel 1984.

A Torino

L'altro giorno, nel corso di un breve visita a Torino, ho avuto la piacevole sorpresa di imbattermi nell'esposizione allestita alla Biblioteca Reale in occasione del bicentenario della morte di Joseph-Louis Lagrange, o Giuseppe Luigi La Grangia (tra l'altro, una delle poche cose visitabili a Torino di lunedì). All'interno dell'impressionante sala di lettura una serie di pannelli permette di ripercorrere la vita di uno dei più importanti e influenti matematici attivi tra la fine del XVIII e l'inizio del XIX secolo (fu, tra le altre cose, successore di Eulero all'accademia delle scienze a Berlino e professore all'Ecole Normale e all'Ecole Polytechnique a Parigi, giocando un ruolo chiave nella decimalizzazione del sistema metrico). Ovviamente ampio spazio è dedicato ai suoi ingenti contributi alla matematica pura ed applicata, dagli studi giovanili in ambito balistico (fu maestro degli artiglieri) al calcolo delle variazioni, passando per la teoria dei numeri, la meccanica razionale e, addirittura, la matematica assicurativa.

Ho acquistato il catalogo della mostra, ricco di approfondimenti, che leggerò con calma (quando ne avrò il tempo, che al termine di questa settimana di vacanza ricomincerà a scarseggiare...).

Bellezza frattale

Ho letto, tutto d'un fiato o quasi (impresa notevole, in un periodo in cui il mio tempo libero si è ridotto quasi a zero) Argento vivo (Sellerio), l'ultima fatica di Marco Malvaldi. Non mi avventurerò in giudizi di carattere estetico, non avendone le competenze (condivido con uno dei protagonisti, forse l'alter ego dello stesso autore, il fatto di essere un lettore compulsivo, ma purtroppo non la sua capacità di analizzare freddamente il testo); dirò soltanto che il libro mi ha dato quello che cercavo, cioè qualche ora di lettura spensierata, con l'aggiunta di un pretesto per qualche approfondimento di carattere matematico.

Il vero protagonista del romanzo è a sua volta un romanzo, opera ancora inedita di un autore un po' appannato il cui furto dà il via alla vicenda. E, da quanto si evince dagli stralci inseriti nella narrazione, il protagonista di tale romanzo è un anziano matematico, musicista mancato e musicologo di talento, alla ricerca di un criterio per quantificare la bellezza di un brano. Criterio che il personaggio in questione identifica nella cosiddetta dimensione frattale del componimento musicale.

L'idea di studiare la complessità della musica attraverso la geometria frattale non è affatto fantascientifica. Ispirata, ovviamente, da Benoît Mandelbrot e dal suo "manifesto" The fractal geometry of nature, essa è stata sfruttata ad esempio da Perrin S. Meyer (vedi qui), che analizzando la forma d'onda di alcuni brani (da Vivaldi ai Grateful Dead, passando per Vangelis) giunge alla conclusione che la sua dimensione frattale (cioè, essenzialmente, l'efficienza con cui essa occupa lo spazio bidimensionale) non si allontana mai molto dal valore di 1.65. La geometria frattale della musica è anche alla base del lavoro degli "zurighesi" Kenneth e Andreas Hsü, che qui applicano il punto di vista Mandelbrot-iano ad alcune composizioni scelte di Wolfgang Amadeus Mozart e Johann Sebastian Bach, ispirando a loro volta Jennifer Shafer (vedi qui), che concentra la sua attenzione sulle invenzioni in due e tre parti del genio di Eisenach.

Dal caos... l'ordine

Ispirato dall'ultimo capitolo del libro di Guerraggio (e dal romanzo della Shaw), nel corso dell'estate ho letto (a dire il vero in modo un po' sbrigativo e superficiale) Caso e caos, di David Ruelle, professore emerito all'IHES di Bures-sur-Yvette, esperto di turbolenza e (co-)autore del termine attrattore strano (utilizzato nella teoria dei sistemi dinamici per caratterizzare gli attrattori provvisti di  una struttura frattale), uscito nella collana I Grandi Pensatori da Bollati Boringhieri. Partendo dalla nozione di probabilità, il libro ci conduce attraverso i tentativi operati dalla matematica per cercare di venire a patti con l'imprevedibile, lungo un percorso che dal determinismo classico ci conduce in modo turbolento verso i risultati di Poincaré & co. sulla dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, per poi inoltrarsi nel discorso sugli attrattori e quindi sugli strumenti introdotti più di recente per lo studio dei comportamenti caotici. A seguire, troviamo alcune digressioni di carattere fisico (meccanica quantistica, meccanica statistica) ed economico. Nell'ultima parte del libro Ruelle si inoltra poi in alcuni aspetti della teoria dell'informazione, affrontando il tema della complessità algoritmica per rivelarci, infine, anche grazie all'aiuto di Kurt Gödel, qual è il vero significato del sesso.

Al di là degli aspetti prettamente tecnici, il libro si segnala anche per alcuni commenti polemico/sarcastici sulla matematica. Ad esempio, citando Kolmogorov Ruelle ci fa sapere che "il normale sviluppo psicologico di una persona ha termine nel momento esatto in cui sboccia il talento matematico" (come dargli torto?), oppure nota che "la scienza contemporanea internazionale tende a confondersi con la scienza americana". Risultano pure molto gustose le sue descrizioni dei seminari di ricerca, spesso frequentati più per dovere che per interesse (ne so qualcosa...) o dei diversi modi di riflettere su un problema di carattere scientifico.

Insomma un altro notevole esempio di divulgazione di alto livello, che val decisamente la pena di leggere, forse però un po' proibitivo per già non possiede qualche conoscenza dei temi trattati.