Mandrakata

Il titolo di questo post (un'esclamazione in romanesco che fa riferimento al mago dei fumetti creato da Lee Falk nel lontano 1934) rappresenta l'espressione più simpaticamente bizzarra che mi sia capitato di ascoltare nel corso di un seminario di matematica. A pronunciarla, oramai più di un annetto fa, è stato il prof. Camillo de Lellis, in occasione di un simposio organizzato per i docenti ticinesi dalla CMSI per commemorare la figura del "matematico rivoluzionario" Evariste Galois. Il tema della lezione tenuta da De Lellis era particolarmente stimolante: l'inesistenza di una primitiva elementare della funzione

$$ x\mapsto y = e^{x^2} \quad, $$ che ci costringe a ricorrere a tabelle o computer per determinare le probabilità nel caso di una distribuzione normale, quando cioè la funzione di densità di probabilità è riconducibile alla gaussiana $$ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12x^2} \quad. $$ Si tratta di un fatto noto più o meno a chiunque ha frequentato un liceo di indirizzo scientifico, del quale però nemmeno la maggior parte dei matematici conosce la dimostrazione. In effetti, pur avendo un retrogusto analitico, la dimostrazione classica di questo enunciato (dovuta inizialmente a Liouville) fa uso di strumenti decisamente algebrici. Non si tratta di teoria di Galois vera e propria (dal momento che i gruppi di Galois non fanno la loro comparsa), ma i metodi utilizzati sono certamente imparentati con le idee dello sfortunato matematico francese. Essenzialmente, si tratta di dimostrare che $e^{x^2}$ non fa parte di alcuna "estensione elementare" del campo differenziale $\mathbb C(x)$, ottenuta cioè aggiungendo al campo delle funzioni razionali complesse soltanto funzioni esponenziali e logaritmiche (le trigonometriche saranno poi automaticamente incluse in virtù della formula di Eulero). Chiaramente, parte del lavoro (non la più difficile, però) consiste nell'inquadrare nell'ambito algebrico nozioni che solitamente vengono trattate con il linguaggio del calcolo infinitesimale. I dettagli della dimostrazione, ispirata sì da Liouville ma anche da semplificazioni dovute a Ostrowski e Rosenlicht, sono disponibili sia sull'ultimo Volterriano (vedi qui) che sulla pagina personale dell'autore (qui).