La linearizzazione delle potenze di \phi non è l'unico metodo per ricavare la formula di Binet. In alternativa si può fare uso della cosiddetta matrice di Fibonacci
F=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
per cui vale
F^2=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
F^3=
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
F^4= \begin{pmatrix}
5 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
\,,\,
F^5= \begin{pmatrix}
8 & 5 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
e più in generale, com'è relativamente semplice mostrare induttivamente,
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
dove (f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7\ldots)=(1,1,2,3,5,8,13,\ldots) rappresenta la successione di Fibonacci. Essenzialmente, occorre quindi calcolare le potenze di F in modo efficiente.
Iniziamo determinando gli
autovalori di
F; il suo polinomio caratteristico è il "polinomio aureo"
i cui zeri sono gli autovalori di
F
\lambda_1=\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2} \quad,\quad
\lambda_2=\rho=-\frac{1}{\phi}=1-\phi=\frac{1-\sqrt 5}{2} \;.
Per i relativi autospazi vale
S_\phi={\rm Ker}(F-\phi I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \rho
\end{pmatrix}
\right>
e
S_\rho={\rm Ker}(F-\rho I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \phi
\end{pmatrix}
\right> \;.
Di conseguenza, per
B=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ \rho & \phi
\end{pmatrix}
vale
F=
B
\begin{pmatrix}
\phi & 0 \\ 0 & \rho
\end{pmatrix}
B^{-1}
e
F^n =
B
\begin{pmatrix}
\phi^n & 0 \\ 0 & \rho^n
\end{pmatrix}
B^{-1}
= \ldots =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
\phi^{n+1}-\rho^{n+1} & \phi^n-\rho^n \\ \phi^n-\rho^n & \phi^{n-1}-\rho^{n-1}
\end{pmatrix} \:.
Dal confronto delle componenti con
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
segue immediatamente che
f_n = \frac{ \phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}} \quad,
come volevasi dimostrare.
