Mathematics

Here be numbers transcendental,
on an imaginary axis spun,
decimal places without limit
and zero and one.

Mathematics,
simply pure beyond belief.

e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi is minus one
e to the power of i times pi is minus one

A single function, exponential,
just one addition must be done...
multiplication in completion
of zero, of one.

Mathematics,
just so "wow" it brooks belief.

(You'd better believe, you'd better believe it.)

Non hanno certamente sbagliato i Van der Graaf Generator, leggendario gruppo prog rock britannico, ad intitolare Mathematics un brano dedicato all'identità di Eulero, mirabile sintesi di analisi, algebra e geometria.  Il pezzo è contenuto nell'album A Grounding in Numbers, uscito il 14 marzo (e non è certo un caso) del 2011.

E se qualcuno volesse ascoltare ancora un po' di prog rock, qui ho raccolto qualche proposta.

... e Escher sotto la Madunina

Approfittando di una rara giornata di tregua, prima di un'abbondante cena a base di risotto al salto e foiolo in una tipica Trattoria Milanese, ho finalmente trovato il tempo per una visita alla mostra di Palazzo Reale dedicata a Maurits Cornelis Escher, sicuramente uno tra i più riconoscibili e influenti artisti del XX secolo. La mostra, come illustra anche il bel catalogo, ripercorre in modo abbastanza esaustivo la carriera del maestro, anche mettendo in luce alcuni aspetti forse meno noti della sua produzione (come le opere dedicate all'Italia e gli ex libris). Peccato che proprio il catalogo presenti, forse, qualche refuso di troppo (come gli {\sc i} nelle didascalie del contributo di Odifreddi, segno di una frettolosa conversione da LaTeX).

È arcinoto che spesso l'arte di Escher ha tratto ispirazione dalla matematica (come testimonia, tra l'altro, il monumentale Gödel, Escher, Bach di Douglas Hofstaedter); alcune tra le sue opere più memorabili rappresentano l'espressione di una comprensione nel contempo istintiva e profonda della geometria, euclidea e non. Ad esempio:

- le tassellazioni; Escher fu un maestro nell'impiegare con originalità i 17 modi in cui il piano può essere riempito con figure tra loro isometriche, popolandolo con le immagini più disparate (rettili, pesci, oggetti, ippogrifi,...). E ad ispirarlo fu, assieme ad una visita all'Alhambra, il saggio Ueber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene, pubblicato da George Pólya nel 1924 sullo Zeitschrift für Kristallographie (l'originale è disponibile qui, ma a pagamento; qui, invece, è disponibile gratuitamente una traduzione in inglese). In particolare, più degli aspetti formali della questione, a colpire Escher fu l'illustrazione dei 17 tipi di simmetria del piano contenuta nell'articolo di Pólya;

- il nastro di Möbius, esempio standard di superficie non orientabile che in Möbius strip II Escher fa percorrere da una processione chiusa di formiche; è grazie alla proprietà di avere una sola faccia che la superficie può essere percorsa all'infinito per intera;

- la Galleria di stampe, che Escher lasciò volutamente incompleta. Per "tappare" il buco al centro dell'opera rispettando l'effetto Droste voluto dall'autore, i matematici olandesi Bart de Smit e Hendrik Lenstra (quest'ultimo è celebre per il suo algoritmo di fattorizzazione) hanno fatto ricorso a strumenti algebro/geometrici decisamente raffinati, riproducendo essenzialmente il disegno su una curva ellittica definita nel campo complesso (come spiegano qui, in italiano, e all'interno del sito Escher and the Droste effect).

Fibonacci à Strasbourg

Domenica sera, tornando al parcheggio situato sotto il Musée d'Art moderne et contemporain di Strasburgo, ancora intento a digerire una copiosa choucroute, non ho potuto fare a meno di notare la sequenza di numerini situata quasi a livello del tetto (sono le lucine bluastre che si intravedono nella fotografia). Manco a dirlo, si tratta dell'ennesima realizzazione sul tema Fibonacci ad opera di Mario Merz. Battezzata La Nouvelle Suite de Fibonacci, l'opera era stata concepita inizialmente per abbellire la linea del tram A, ed è stata in seguito ricollocata dove si trova ora (e ricolorata, da rossa a blu).

Ma l'opera di Merz non rappresenta l'unica relazione tra il capoluogo alsaziano e il matematico pisano. Si deve infatti a due ricercatori dell'Università di Strasburgo (Yann Bugeaud e Maurice Mignotte), assieme ad un collega dell'Università di Warwick (Samir Siksek), la dimostrazione del fatto che le potenze perfette contenute nella successione di Fibonacci sono soltanto quattro, e cioè 0, 1, 8 e 144. La scoperta di per sé non è particolarmente rivoluzionaria, dato che il risultato era già noto per piccoli esponenti: ad esempio, come spiega Mignotte nell'articolo Sur les carrés dans certaines suites de Fibonacci (scaricabile qui), è possibile mostrare con metodi elementari che gli unici quadrati nella successione in questione sono 0, 1 e 144. Di notevole interesse è però la strategia impiegata dai tre per affrontare il problema, un mix tra tecniche divenute ormai classiche nell'ambito delle equazioni diofantee (come l'uso delle forme lineari nei logaritmi, valso ad Alan Baker la medaglia Fields nel 1970) e gli strumenti estremamente moderni e sofisticati introdotti da Andrew Wiles nella dimostrazione del Teorema di Fermat. Il saggio in questione, intitolato Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations I. Fibonacci and Lucas perfect powers, è scaricabile qui, direttamente dal sito della prestigiosa rivista che l'ha ospitato, Annals of Mathematics (il seguito è uscito poco dopo su Compositio Mathematica). Sfogliandolo, ho provato un pizzico di nostalgia (condito da un leggero retrogusto di angoscia) per gli anni in cui mi occupavo, più o meno, di cose simili (a stretto contatto con il co-autore del primo lavoro citato in fondo all'articolo).

Storie di numeri - 2

Uscito nel 2015, Professor Stewart's Incredible Numbers (in italiano: Numeri incredibili) rappresenta una vera e propria abbuffata di numeri, da zero a $\mathfrak c$. L'autore, Ian Stewart, è forse il più noto divulgatore contemporaneo della matematica, e in questo libro dà nuovamente sfogo alla sua enciclopedica cultura. 

La prima parte del volume, Numeri piccoli, è dedicata ai numeri naturali da $1$ a $10$, e ci permette di scoprire, ad esempio, che $1$ un tempo era primo e ora non lo è più, che il kissing number nel piano è pari a $6$, che per colorare una mappa su un toro occorrono $7$ colori e che $8$ è una delle 4 potenze perfette comprese tra i numeri di Fibonacci (fatto che riprenderò nel prossimo post). Si passa poi agli interi (zero e $-1$, in particolare), all'unità immaginaria $i$, ad alcuni razionali (come il celebre $\frac{22}{7}$) e, finalmente, agli irrazionali, tra cui troviamo, oltre ai consueti $\sqrt{2}$, $e$ e $\pi$, anche la costante $\gamma$ di Eulero-Mascheroni, la costante di Apéry $\zeta(3)$, e pure $\sqrt[12]{2}$, che permette un'interessante digressione sul rapporto tra musica e matematica. Incontriamo poi altri numeri naturali, piccoli e grandi, tra cui l'$11$ della teoria delle stringhe, il $23$ del paradosso dei compleanni e il $43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$ del cubo di Rubik. Si decolla poi verso l'infinito, con $\aleph_0$ e il già citato $\mathfrak c$, la cardinalità del continuo. Il finale ha un tono più scherzoso, e ci mostra che anche un numero apparentemente insignificante come il $42$, ironicamente individuato da Douglas Adams come "la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'Universo e tutto quanto" non è poi così banale come sembra. 
Decisamente uno fra i più interessanti libri di divulgazione che mi sia capitato di leggere. Consigliatissimo.
 

251

(perché è molto meno banale di 250...)
 

Duecentocinquantunesimo post. Certo, in più di nove anni, ma nel 2007 non avrei mai immaginato di arrivare fino a qui.

$251$ è un numero primo, ma non uno qualsiasi: si tratta del diciottesimo numero primo di Sophie Germain (cioè tale che $2p+1$ è primo a sua volta). Ed è pure il più piccolo intero rappresentabile in due modi come somma di tre cubi. E, come se ciò non bastasse, è anche il numero di sottomatrici quadrate di una matrice $5\times5$ (grazie Wikipedia; se non ci fossi tu...).

A presto!