La geometria dei cerchi

Philip Glass è senz'altro uno dei compositori contemporanei più celebri e influenti. Frequentemente associato alla corrente minimalista, egli preferisce definirsi un autore di musica con strutture ripetitive (ben evidenti nell'ascolto dei suoi brani). Glass è noto anche per le sue collaborazioni con il mondo del cinema (sono sue le suggestive colonne sonore di The Hours e The Illusionist, così come alcune delle musiche di sottofondo presenti in Watchmen).

Nel 1979, i produttori del programma educativo Sesame Street (quello con i Muppets di Jim Henson) commissionarono a Glass la musica per l'animazione Geometry of Circles, basata sulle simmetrie dell'esagono. Eccola, in tutto il suo splendore vintage:

Letture...

Solitamente, terminata la lettura di una libro di carattere matematico, lo deposito sulla scrivania in attesa di parlarne su questo blog. Capita però che, per un motivo o per l'altro (pigrizia, soprattutto...) il libro in questione sulla scrivania ci stazioni per dei mesi, finché il ricordo sbiadisce a tal punto da non permettermi più di parlarne con cognizione di causa. Dedico quindi questo post ad alcuni volumi che ho letto nei mesi scorsi (così da poterli finalmente trasferire negli scaffali sparsi in giro per la casa).

• Mario Livio, Dio è un matematico (Rizzoli), che curiosamente nella traduzione italiana ha perso il punto interrogativo. Un libro dedicato a due questioni correlate: Perché la matematica si rivela così preziosa nel descrivere il mondo che ci circonda, riuscendo a volte ad anticipare lo sviluppo delle scienze sperimentali?, e La matematica esiste di per sè, oppure è una creazione della mente umana?
• Marco Malvaldi, Il re dei giochi e La carta più alta (Sellerio). Terzo e quarto capitolo della saga del BarLume, con i quattro simpatici vecchietti a fare da contraltare alle inchieste del "barrista", ex matematico e investigatore per caso Massimo. Il re dei giochi contiene un simpatico riferimento al paradosso dei compleanni (utilizzato dal protagonista per vincere una scommessa).
• Piergiorgio Odifreddi, C'è spazio per tutti (Mondadori). Prima parte di una storia della geometria (di cui è già uscito il secondo volume), dedicata alla matematica greca. Bello.
• Massimo Scorletti, Mario Italo Trioni, Matematica (Vallardi). Una sintesi della matematica liceale italiana. Poco adatta qui da noi, vista la totale assenza del concetto di vettore.

BarLumi di matematica - 2

"(...) Grazie ad una corrispondenza biunivoca tra i risultati di quella domenica e quelli scritti da Massimo sulla schedina, il nostro era venuto in possesso di una parte di quel montepremi e aveva conseguentemente mandato a fare in culo la matematica, il dottorato e l'incertezza (...)". Probabilmente è stata questa frase, tratta da Il gioco delle tre carte (seconda parte della quadrilogia del BarLume) a convincermi a diventare un lettore fisso di Marco Malvaldi. Convinzione rinforzata dalla descrizione, settanta pagine più avanti, delle frustrazioni di un dottorando alle prese con un problematico direttore di tesi, che mi ha riportato indietro nel tempo di una dozzina d'anni (nel mio caso, purtroppo o per fortuna, nessuna vincita milionaria si è però frapposta tra me e la conclusione del lavoro...).

Anche questa seconda avventura del "barrista" e investigatore a tempo perso Massimo (coadiuvato dagli irresistibili "vecchietti"), ambientata sullo sfondo di un congresso scientifico, si rivela divertente e appassionante. Tra l'altro, giusto poco fa ho acquistato il quarto libro della serie, che inizierò a leggere in giornata.

Un bell'esercizio - 2

Ancora a proposito del problema di cui ho parlato ieri: appurato che non è possibile disegnare un triangolo equilatero con l'aiuto dei quadretti del foglio, quali sono le approssimazioni più accurate ottenibili? Una (banale) ricerca esaustiva, effettuata con MAPLE a partire dai punti A(0,0) e B(x,y) con x e y tra 0 e 20, ha fornito come migliore approssimazione i vertici B(11,11) e C(-4,15). Ovviamente, un intervallo più generoso per le coordinate di B avrebbe prodotto risultati migliori. Ma esiste una soluzione più elegante, che non faccia uso della "forza bruta"? Sembra un problema di approssimazione razionale. Potrebbero venirci in aiuto le frazioni continue?

Un bell'esercizio

Tra gli infiniti esercizi che regolarmente appioppiamo ai nostri allievi, quanti potrebbero essere definiti veramente appassionanti (per lo meno agli occhi del matematico...)? Non certo i cosiddetti drills ("risolvi la seguente equazione", "calcola il limite", "deriva", "integra",...), ma nemmeno la maggior parte dei problemi geometrici, per lo più ricalcati su modelli preconfezionati. Un esercizio risulta appassionante quando esprime una "bella" matematica, cioè quando risulta appagante per il nostro (perverso) senso dell'estetica. E qui entra in gioco una forte componente soggettiva: per taluni, la matematica è bella quando un problema apparentemente complicato viene spazzato via da una geniale intuizione (la "verblüffende Einfachheit" descritta da Beutelspacher nel video che ho postato qui). Altri, invece, adorano quei problemi apparentemente semplici e comprensibili a chiunque la cui soluzione richiede però impegnative escursioni in ambiti inattesi della matematica. Io, forse, appartengo a quest'ultima (patologica) categoria, ed è per questo motivo che, a suo tempo, scelsi di dirigermi verso la teoria dei numeri. Un tipico esempio è un quesito che pongo regolarmente ai miei allievi: "mostra che è impossibile disegnare un triangolo equilatero su un foglio quadrettato" (in modo tale che i vertici appartengano agli incroci dei quadretti). O, in un linguaggio più matematico, "mostra che non esiste, nel piano cartesiano, un triangolo equilatero con tutti i vertici a coordinate intere. L'affermazione (nella prima versione, per lo meno) può essere compresa da chiunque, ma la dimostrazione (basata su due espressioni differenti dell'area del triangolo) fa uso di nozioni tutt'altro che banali (il determinante e, soprattutto, l'irrazionalità della radice di 3).

Ho tratto l'esercizio da 101 Mathematikaufgaben (purtroppo disponibile soltanto in lingua tedesca), del mio vecchio professore di didattica Peter Gallin, di cui ricordo con piacere le lezioni all'Università di Zurigo, condotte con uno stile sobrio e pragmatico, ben lontano dagli eccessi psicopedagogici che oggi vanno tanto di moda. Il testo, che non mancherò di cannibalizzare ulteriormente, contiene una collezione di quesiti posti come problema del mese alla Kantonsschule (denominazione svizzero-tedesca di Liceo) in cui Gallin ha insegnato per decenni in parallelo alla sua attività universitaria.