Un bell'esercizio

Tra gli infiniti esercizi che regolarmente appioppiamo ai nostri allievi, quanti potrebbero essere definiti veramente appassionanti (per lo meno agli occhi del matematico...)? Non certo i cosiddetti drills ("risolvi la seguente equazione", "calcola il limite", "deriva", "integra",...), ma nemmeno la maggior parte dei problemi geometrici, per lo più ricalcati su modelli preconfezionati. Un esercizio risulta appassionante quando esprime una "bella" matematica, cioè quando risulta appagante per il nostro (perverso) senso dell'estetica. E qui entra in gioco una forte componente soggettiva: per taluni, la matematica è bella quando un problema apparentemente complicato viene spazzato via da una geniale intuizione (la "verblüffende Einfachheit" descritta da Beutelspacher nel video che ho postato qui). Altri, invece, adorano quei problemi apparentemente semplici e comprensibili a chiunque la cui soluzione richiede però impegnative escursioni in ambiti inattesi della matematica. Io, forse, appartengo a quest'ultima (patologica) categoria, ed è per questo motivo che, a suo tempo, scelsi di dirigermi verso la teoria dei numeri. Un tipico esempio è un quesito che pongo regolarmente ai miei allievi: "mostra che è impossibile disegnare un triangolo equilatero su un foglio quadrettato" (in modo tale che i vertici appartengano agli incroci dei quadretti). O, in un linguaggio più matematico, "mostra che non esiste, nel piano cartesiano, un triangolo equilatero con tutti i vertici a coordinate intere. L'affermazione (nella prima versione, per lo meno) può essere compresa da chiunque, ma la dimostrazione (basata su due espressioni differenti dell'area del triangolo) fa uso di nozioni tutt'altro che banali (il determinante e, soprattutto, l'irrazionalità della radice di 3).

Ho tratto l'esercizio da 101 Mathematikaufgaben (purtroppo disponibile soltanto in lingua tedesca), del mio vecchio professore di didattica Peter Gallin, di cui ricordo con piacere le lezioni all'Università di Zurigo, condotte con uno stile sobrio e pragmatico, ben lontano dagli eccessi psicopedagogici che oggi vanno tanto di moda. Il testo, che non mancherò di cannibalizzare ulteriormente, contiene una collezione di quesiti posti come problema del mese alla Kantonsschule (denominazione svizzero-tedesca di Liceo) in cui Gallin ha insegnato per decenni in parallelo alla sua attività universitaria.