Jack Reacher e il barone di Münchhausen

Sembra quasi che la matematica mi insegua anche quando cerco di starle lontano.

A volte, specialmente in periodi un po' estenuanti come quello appena trascorso, per dare un po' di tregua a qualche neurone, metto al bando la suspension of disbelief e mi immergo nella lettura di qualche "romanzo di genere". Fra gli autori che più frequento c'è l'inglese Lee Child, che con il personaggio di Jack Reacher ha ideato una figura di eroe/antieroe non proprio credibile ma quasi (tra l'altro, ben resa dall'imponente Alan Ritchson nella serie prodotta da Amazon, e un po' meno dal più mingherlino Tom Cruise, a cui mancano una ventina di centimetri per essere credibile nel ruolo). La saga conta al  momento 29 volumi, gli ultimi dei quali scritti da Child in collaborazione con il fratello minore Andrew, destinato a breve a prendere definitivamente in mano le redini del personaggio.

Al di là di qualche aspetto caratteriale un po' borderline, a Jack Reacher non manca proprio nulla: è intelligentissimo, fortissimo e resistente, imbattibile nel corpo a corpo, generoso, amatore sopraffino, non puzza nonostante non si lavi quasi mai, ha una sorta di orologio interno incorporato che gli permette in ogni istante di conoscere l'ora esatta, e ne capisce pure di matematica. Già; anche di matematica; infatti, leggendo il diciannovesimo romanzo (Punto di non ritorno, fonte di ispirazione per il secondo dei due lungometraggi), mi sono imbattuto in quanto segue:

In effetti, è facile verificare che

$$3^3+4^4+3^3+5^5=3435 \quad.$$

Joseph Madachy (che in realtà fu proprietario, editore e direttore del Recreational Mathematics Magazine, ma soltanto editore del successivo Journal of Recreational Mathematics) menzionò questo fatto in un articolo contenuto nella raccolta Mathematics on Vacation (non difficilissima da reperire online) dedicato a quelli che lui battezzò numeri narcisisti (ossia innamorati di se stessi).

Il numero 3435 fa parte della (minuscola) successione dei numeri di Münchhausen (OEIS A046253) che elevano se stessi ("raise themselves"), come fece il personaggio creato dalla penna di Rudolf Eric Raspe nel 1785 (ispirato a un nobile tedesco realmente esistito), che nel romanzo a lui dedicato liberò se stesso e il suo cavallo da una palude grazie soltanto alla forza delle sue braccia, sollevandosi per la treccia dei suoi capelli.

Ah, e inoltre vale $34+35=69$, come ci spiega Ariana Grande nell'omonimo, scandalosissimo brano omonimo (contenuto, guarda un po', in un album intitolato Positions; più esplicito di così...)

 

Brandelli di geometria

Occasionalmente mi lascio tentare da qualche asta online, grazie all'app di Catawiki, che permette con pochi semplici passi di separarsi da quantità anche ingenti di denaro senza particolari complicazioni. Le mie categorie preferite sono le monete romane, gli orologi meccanici, le illustrazioni d'epoca e, soprattutto, i libri di matematica. Quasi per caso, un paio di mesi fa, ho acquistato (per pochi spicci, viste le deplorevoli condizioni in cui versava) una sesta edizione (1806) degli Eléments de geometrie di Adrien-Marie Legendre, uno dei testi di matematica in lingua francese di maggior successo del XIX secolo. 

L'autore (che, come si suol dire, non necessita certo di presentazioni) si prefigge con quest'opera innanzitutto di "svecchiare" la geometria euclidea, ripercorrendone con cura l'assiomatica e i teoremi. E in secondo luogo, nelle due appendici, di completare il discorso con due notevoli trattatelli di trigonometria piana e sferica (quest'ultima Legendre la approfondì probabilmente occupandosi della titanica opera della misurazione del meridiano terrestre, che condusse alla standardizzazione delle misure lineari, si veda anche qui), in cui l'autore fa uso in modo ingegnoso anche di tecniche del calcolo infinitesimale.

Il libro, leggibile anche oggi, è anche noto per una geniale ma colossale cantonata presa dall'autore, ben documentata qui dalla matematica statunitense Anna Riffe, che nel suo student paper premiato nel 2014 dalla MAA mise in evidenza alcuni dei tentativi infruttuosi che costellarono una quarantina d'anni di attività del buon Adrien (che però si occupò anche d'altro, fortunatamente per la matematica). 

In sintesi: facendo uso soltanto degli assiomi della geometria assoluta (ottenuta stralciando l'assioma delle parallele), Legendre produce innanzitutto quello che oggi è noto come il Teorema di Saccheri-Legendre:

Subito dopo, però, a testimonianza del fatto che il troppo stroppia, si spinge a "dimostrare" un'affermazione ben più clamorosa:

Beh, forse non tutti sanno che tale affermazione è equivalente all'assioma delle parallele che, come avrebbero dimostrato qualche lustro più tardi Nikolai Ivanovich Lobachevsky e Janos Bolyai inventando la geometria iperbolica, è indipendente dai rimanenti. Colpito e affondato (ma a quanto pare Legendre lasciò questa valle di lacrime nella convinzione di essere nel giusto).

Degno di nota, nella seconda appendice, è anche un teoremino usato spesso in geodesia nell'era pre-GPS, che, indicando come rettificare triangoli "piccoli" (ma non troppo) su una superficie sferica, permette in alcuni casi di ridurre la trigonometria sferica a quella piana:

E un'ultima cosa, questa:

Peccato che la trovata dei savants menzionati da Legendre (di cui lui stesso faceva parte) di suddividere in cento parti l'angolo retto non abbia avuto il successo travolgente che ci si attendeva (anche se, per qualche motivo, continua a sopravvivere nelle calcolatrici scientifiche, ad uso forse degli agrimensori, confondendo però non poco gli studenti più sprovveduti).

Contrappunti aurei

Nemmeno l'Arte della fuga, capolavoro incompleto composto da Johann Sebastian Bach nei suoi ultimi anni di vita, basato sulla breve, celeberrima sequenza

poteva sfuggire al golden numberism tanto inviso a Ruth Tatlow (ne ho parlato qui). In effetti, nel saggio The matematical architecture of Bach's "The Art of Fugue", pubblicato sulla rivista Il saggiatore musicale nel 2010,  Loïc Sylvestre e Marco Costa smontano meticolosamente una possibile sequenza dei 14 (14=B+A+C+H, tra l'altro) contrappunti, identificando a diversi livelli un'architettura apparentemente basata sul rapporto aureo. 

I due autori ipotizzano che Bach abbia consciamente concepito la struttura da loro identificata, in linea con gli scopi della della Societät der musicalischen Wissenschaften, sodalizio "virtuale" (comunicava soltanto per corrispondenza) di stampo pitagorico, che nei suoi due decenni di attività annoverò tra le sue fila pure Telemann e Händel. 

Al momento sto ascoltando, in sottofondo, una versione per quartetto d'archi che trovo particolarmente pregevole, quella incisa dal quartetto Emerson nel 2003.

Perepè (reprise)

Come osserva giustamente Julian F. Fleron nel suo articolo Gabriel's Wedding Cake (archiviato qui), il calcolo dell'area di una superficie di rotazione si trova un po' al limite di quello che può essere insegnato al liceo (io però ne faccio accenno, omettendo le dimostrazioni). Per illustrare il paradosso del pittore in modo (?) più elementare, propone quindi di rimpiazzare la tromba di Gabriele con una "torta nuziale di Gabriele", ottenuta ruotando attorno all'asse delle ascisse per $x\ge$1 il grafico della funzione "a scalini"

$$ f(x) = \lfloor x \rfloor $$

(la "parte intera" di $x$, quindi $f(x)=1$ per $1\le x < 2$, $f(x)=2$ per $2\le x < 3$ ecc.).

Così facendo, per la determinazione del volume e della superficie laterale, il calcolo integrale viene rimpiazzato da considerazioni (tutt'altro che elementari), sulle serie numeriche; in particolare, fanno capolino due serie storicamente molto rilevanti.

Il volume complessivo è ottenuto sommando i volumi degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggio di base $\frac{1}{n}$ con $n=1,2,3,\ldots$. Ricordando la soluzione del problema di Basilea (posto da Pietro Mengoli nel 1650 e risolto da Leonhard Euler nel 1735), vale

$$V = \sum_{n=1}^{\infty} \pi \cdot \left( \frac 1n \right)^2 = \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2} = \pi \cdot \zeta(2) = \pi \cdot \frac{\pi^2}{6} =  \frac{\pi^3}6 \quad.$$

Per quanto riguarda l'area complessiva, occorre considerare separatamente la superficie complessiva $S_A$ delle infinite corone circolari di raggi $\frac 1n$ e $\frac 1{n+1}$ e la superficie laterale complessiva $A_C$ degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggi $\frac 1n$. Calcoliamo quindi innanzitutto la "somma telescopica"

$$S_A = \sum_{n=1}^\infty \left( \pi\cdot \left(\frac1n\right)^2 - \pi\cdot \left(\frac1{n+1}\right)^2\right) = \pi \sum_{n=1}^\infty \left( \frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)$$

$$=\pi\left( 1- \lim_{n\to\infty}\frac1{(n+1)^2}\right)=\pi$$

(risultato tutt'altro che stupefacente, se si osserva l'oggetto da un punto infinitamente lontano sull'asse delle ascisse), e inoltre

$$S_C=\sum_{n=1}^\infty 2\pi \cdot 1 \cdot \frac1n = 2\pi \sum_{n=1}^\infty \frac1n = +\infty \quad,$$

dal momento che, come già sapeva Nicola D'Oresme nel lontano 1350, la serie armonica diverge.

Perepè

Già, perepè (onomatopea presa a prestito da una dimenticata canzoncina risalente alla settima edizione dello Zecchino d'oro). È l'avviso che compare puntualmente ogni giorno  alle 17 sul mio cellulare, per ricordarmi di dedicare un po' di tempo quello che è tornato ad essere, dopo una ventina d'anni, il mio hobby ufficiale, la tromba (rimpiazzata dalla sua meno squillante sorella minore, la cornetta, nei periodi in cui la brass band prende il sopravvento sulla banda, o sull'orchestra, o sull'orchestra di fiati). Perfezionata, nella versione attuale, a cavallo tra il XVIII e il XIX secolo, la tromba vanta non pochi estimatori, non solo in ambito jazzistico, e fra questi certamente anche qualche matematico. Il più noto è probabilmente Marcus DuSautoy, che occasionalmente fa sfoggio delle sue doti musicali nei suoi interventi divulgativi. Ma online si trova, ovviamente, un po' di tutto, come chi (qui) ha studiato la propagazione dell'onda di pressione all'interno di una tromba facendo uso delle tecniche della fluidodinamica computazionale.

Ma la tromba più cara ai matematici è un oggetto decisamente più astratto, ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse il grafico della funzione $y=\frac{1}{x}$ per $x>1$: 

si tratta dell'arcinota tromba di Torricelli, o dell'Arcangelo Gabriele (Gabriel's Horn), le cui caratteristiche geometriche la rendono protagonista del paradosso del pittore: per dipingerla occorre una quantità infinita di vernice, ma la quantità che può contenerne è solo finita. In termini più matematici: si tratta di un volume finito (di misura $\pi$, tra l'altro) racchiuso da una superficie di area infinita. Evangelista Torricelli dimostrò questo fatto nel trattato De solido iperbolico acuto, impiegando ingegnosamente il principio di Cavalieri, sviluppato dal suo maestro Bonaventura Cavalieri (essenzialmente, la ripresa di un discorso interrotto quasi due millenni prima dalla morte di Archimede, nonché uno step fondamentale sulla strada che avrebbe condotto al calcolo integrale). Oggi la dimostrazione di questo fatto è un'applicazione non particolarmente problematica del calculus, proponibile al termine del percorso liceale o immediatamente dopo. La si può trovare, assieme ad altre interessanti considerazioni, nell'articolo Tromba di Torricelli o dell'arcangelo Gabriele, scritto dall'amico Andrea Pellegrinelli assieme al compianto Maurice Froidcoeur e pubblicato nel numero 128 del Bulletin della SSIMF (la Società svizzera degli insegnanti di matematica e fisica).

Chiudo qui, per oggi. Anche perché sono le 16:56 e fra quattro minuti il mio iPhone mi inviterà a passare un'oretta in compagnia della mia Bach Stradivarius 37 ML, acquistata quasi una quarto di secolo fa (o forse della sua sorellina, una cornetta Yamaha Xeno, che le fa compagnia da poco più di un anno).