Perepè (reprise)

Come osserva giustamente Julian F. Fleron nel suo articolo Gabriel's Wedding Cake (archiviato qui), il calcolo dell'area di una superficie di rotazione si trova un po' al limite di quello che può essere insegnato al liceo (io però ne faccio accenno, omettendo le dimostrazioni). Per illustrare il paradosso del pittore in modo (?) più elementare, propone quindi di rimpiazzare la tromba di Gabriele con una "torta nuziale di Gabriele", ottenuta ruotando attorno all'asse delle ascisse per $x\ge$1 il grafico della funzione "a scalini"

$$ f(x) = \lfloor x \rfloor $$

(la "parte intera" di $x$, quindi $f(x)=1$ per $1\le x < 2$, $f(x)=2$ per $2\le x < 3$ ecc.).

Così facendo, per la determinazione del volume e della superficie laterale, il calcolo integrale viene rimpiazzato da considerazioni (tutt'altro che elementari), sulle serie numeriche; in particolare, fanno capolino due serie storicamente molto rilevanti.

Il volume complessivo è ottenuto sommando i volumi degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggio di base $\frac{1}{n}$ con $n=1,2,3,\ldots$. Ricordando la soluzione del problema di Basilea (posto da Pietro Mengoli nel 1650 e risolto da Leonhard Euler nel 1735), vale

$$V = \sum_{n=1}^{\infty} \pi \cdot \left( \frac 1n \right)^2 = \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2} = \pi \cdot \zeta(2) = \pi \cdot \frac{\pi^2}{6} =  \frac{\pi^3}6 \quad.$$

Per quanto riguarda l'area complessiva, occorre considerare separatamente la superficie complessiva $S_A$ delle infinite corone circolari di raggi $\frac 1n$ e $\frac 1{n+1}$ e la superficie laterale complessiva $A_C$ degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggi $\frac 1n$. Calcoliamo quindi innanzitutto la "somma telescopica"

$$S_A = \sum_{n=1}^\infty \left( \pi\cdot \left(\frac1n\right)^2 - \pi\cdot \left(\frac1{n+1}\right)^2\right) = \pi \sum_{n=1}^\infty \left( \frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)$$

$$=\pi\left( 1- \lim_{n\to\infty}\frac1{(n+1)^2}\right)=\pi$$

(risultato tutt'altro che stupefacente, se si osserva l'oggetto da un punto infinitamente lontano sull'asse delle ascisse), e inoltre

$$S_C=\sum_{n=1}^\infty 2\pi \cdot 1 \cdot \frac1n = 2\pi \sum_{n=1}^\infty \frac1n = +\infty \quad,$$

dal momento che, come già sapeva Nicola D'Oresme nel lontano 1350, la serie armonica diverge.