Occasionalmente mi lascio tentare da qualche asta online, grazie all'app di Catawiki, che permette con pochi semplici passi di separarsi da quantità anche ingenti di denaro senza particolari complicazioni. Le mie categorie preferite sono le monete romane, gli orologi meccanici, le illustrazioni d'epoca e, soprattutto, i libri di matematica. Quasi per caso, un paio di mesi fa, ho acquistato (per pochi spicci, viste le deplorevoli condizioni in cui versava) una sesta edizione (1806) degli Eléments de geometrie di Adrien-Marie Legendre, uno dei testi di matematica in lingua francese di maggior successo del XIX secolo.
L'autore (che, come si suol dire, non necessita certo di presentazioni) si prefigge con quest'opera innanzitutto di "svecchiare" la geometria euclidea, ripercorrendone con cura l'assiomatica e i teoremi. E in secondo luogo, nelle due appendici, di completare il discorso con due notevoli trattatelli di trigonometria piana e sferica (quest'ultima Legendre la approfondì probabilmente occupandosi della titanica opera della misurazione del meridiano terrestre, che condusse alla standardizzazione delle misure lineari, si veda anche qui), in cui l'autore fa uso in modo ingegnoso anche di tecniche del calcolo infinitesimale.
Il libro, leggibile anche oggi, è anche noto per una geniale ma colossale cantonata presa dall'autore, ben documentata qui dalla matematica statunitense Anna Riffe, che nel suo student paper premiato nel 2014 dalla MAA mise in evidenza alcuni dei tentativi infruttuosi che costellarono una quarantina d'anni di attività del buon Adrien (che però si occupò anche d'altro, fortunatamente per la matematica).
In sintesi: facendo uso soltanto degli assiomi della geometria assoluta (ottenuta stralciando l'assioma delle parallele), Legendre produce innanzitutto quello che oggi è noto come il Teorema di Saccheri-Legendre:
Subito dopo, però, a testimonianza del fatto che il troppo stroppia, si spinge a "dimostrare" un'affermazione ben più clamorosa:
Beh, forse non tutti sanno che tale affermazione è equivalente all'assioma delle parallele che, come avrebbero dimostrato qualche lustro più tardi Nikolai Ivanovich Lobachevsky e Janos Bolyai inventando la geometria iperbolica, è indipendente dai rimanenti. Colpito e affondato (ma a quanto pare Legendre lasciò questa valle di lacrime nella convinzione di essere nel giusto).
Degno di nota, nella seconda appendice, è anche un teoremino usato spesso in geodesia nell'era pre-GPS, che, indicando come rettificare triangoli "piccoli" (ma non troppo) su una superficie sferica, permette in alcuni casi di ridurre la trigonometria sferica a quella piana:
E un'ultima cosa, questa:
Peccato che la trovata dei savants menzionati da Legendre (di cui lui stesso faceva parte) di suddividere in cento parti l'angolo retto non abbia avuto il successo travolgente che ci si attendeva (anche se, per qualche motivo, continua a sopravvivere nelle calcolatrici scientifiche, ad uso forse degli agrimensori, confondendo però non poco gli studenti più sprovveduti).
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