lunedì 23 marzo 2020

La matematica ai tempi del COVID

Anche nella gestione di una crisi come quella attuale la matematica fa la sua parte. L'evoluzione di un'epidemia può essere modellata in modo abbastanza efficace per mezzo di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il più celebre, forse, è quello proposto da Kermack e McKendrick nel 1927. Si tratta di un cosiddetto modello compartimentale (credo si dica così), in cui la popolazione viene suddivisa in comparti permeabili tra loro ma non verso l'esterno, la cui evoluzione è dettata da equazioni differenziali ordinarie. In particolare, in una versione molto semplificata del modello SIR, quasi un "modello-giocattolo", i compartimenti sono tre:
  • i cosiddetti suscettibili, cioè la parte della popolazione non ancora infettata, la cui evoluzione nel tempo è descritta dalla funzione $S(t)$;
  • gli infettivi, la cui evoluzione è descritta da $I(t)$;
  • rimossi $R(t)$, cioè chi non è più infettabile (immune o deceduto).
Tra le altre cose, il modello esclude nascite o migrazioni, suppone che la probabilità di incontrarsi sia la stessa per ogni coppia di individui, e assume un tempo d'incubazione nullo.

Le tre equazioni che descrivono le dinamiche nella popolazione si possono intuire come segue:
  • la diminuzione istantanea dei suscettibili è direttamente proporzionale agli incontri tra suscettibili e infetti: ciò si traduce nell'EDO $$\frac{dS}{dt}=-\beta S(t) I(t)$$
  • l'aumento istantaneo dei rimossi è direttamente proporzionale al numero di infetti:$$\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)$$
  • dal momento che il numero di individui è costante, vale $$S(t)+I(t)+R(t)=\text{cost.}\;;$$ derivando tale relazione e utilizzando le equazioni viste in precedenza si ricava $$-\beta S(t)I(t)+\frac{dI}{dt}+\gamma I(t)=0\; \iff \; \frac{dI}{dt}=\beta S(t)I(t)-\gamma I(t) .$$ 
Otteniamo quindi il sistema non lineare $$\begin{cases} \frac{dS}{dt} =-\beta S(t) I(t) \\[1mm] \frac{dI}{dt} = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) \\[1mm] \frac{dR}{dt}=\gamma I(t) \end{cases} $$ 
dove $\beta$ e $\gamma$ rappresentano rispettivamente il tasso d'infezione e il tasso medio di guarigione (quest'ultimo è il reciproco della durata media della malattia).

La non-linearità rende problematica la risoluzione del sistema con metodi esatti (ma a quanto pare è possibile ottenerla: si veda qui); è però possibile ricorrere anche a metodi numerici; ad esempio, giocherellando con il comando DEplot di Maple, ponendo $\beta=0.003$ e supponendo una durata media di 7 giorni dell'infezione, partendo da uno 0.01% di contagiati, si ottengono i seguenti grafici per $S$, $I$ e $R$:



Tra l'altro, la seconda equazione può essere riscritta come $$\frac{dI}{dt} = I(t)(\beta S(t)- \gamma) \;;$$ ciò significa che $$ \frac{dI}{dt}<0 \;\iff\; \frac{\beta}{\gamma}S(t)<1 \quad.$$
Nel nostro caso ($\beta=0.003$ e $\gamma=\frac17$), ad esempio, anche il grafico conferma che il numero di contagiati comincia a decrescere quando all'incirca $S<48$.


domenica 22 marzo 2020

La scuola ai tempi del COVID

Stiamo in casa. È difficile, sì, ma al momento si tratta dell'unica cosa da fare. Anche la scuola dovrà giocoforza rallentare, dal momento che le forme alternative di didattica non sono certo efficaci come il contatto quotidiano con i nostri studenti. Ma qualcosa organizzeremo, facendo di necessità virtù, consegnando online dispense ed esercizi, restando in contatto in qualche modo. Sarà anche il momento di sperimentare qualcosa di nuovo; ho provato ad allestire, con un treppiede e una videocamera, una modesta "auletta virtuale" nel mio studiolo (perché mi riesce difficile pensare di insegnare senza trovarmi davanti ad una lavagna).
Nelle giornate che hanno preceduto la chiusura, chi più chi meno, in molti abbiamo parlato di epidemie con i nostri allievi. Ovviamente ne hanno parlato i biologi; qualcuno ha parlato di Tucidide e della Guerra del Peloponneso (Libro II, 47-55), altri della del Manzoni e Storia della colonna infame, altri ancora della Spagnola. Per quel che mi riguarda, con gli studenti più avanzati, a un passo dalla maturità (che in qualche modo dovremo dare loro, nonostante tutto), ho fatto appena in tempo ad accennare al ruolo della matematica nella modellizzazione dell'evoluzione di un epidemia, riferendomi al cosiddetto modello SIR. Sarà l'argomento del prossimo post.

domenica 1 marzo 2020

C'è un prima e c'è un dopo

Ci sono eventi le cui conseguenze hanno modificato radicalmente il corso della storia. Veri e propri istanti fatali (magari prolungati nel tempo), in cui è ben possibile demarcare un "prima" e un "dopo". La scoperta del fuoco, l'invenzione della ruota, la morte di Cesare, la nascita di Cristo, la caduta dell'impero romano d'occidente, l'incoronazione di Carlo Magno, la scoperta dell'America, la rivoluzione francese, la rivoluzione russa, l'olocausto, la bomba di Hiroshima e tanti, tanti altri sono eventi che hanno segnato la vicenda umana in modo indelebile. I più recenti, poi sono ben impressi nella memoria di chi li ha seguiti in TV, sui giornali o, ultimamente, sul web: l'allunaggio dell'Apollo 11, Chernobyl, la caduta del muro, l'11 settembre. Ci sono poi eventi di portata più personale, che hanno costellato le nostre vite di eventi fausti o infausti. Momenti rimasti indelebili nella nostra memoria, che ci hanno segnato in modi più o meno evidenti.
Anche nella matematica ci sono scoperte, intuizioni, lampi di genio (anche prolungatisi nel tempo) che ne hanno influenzato in modo sostanziale l'evoluzione. Nella sua ultima fatica letteraria, Istanti fatali, Umberto Bottazzini ne identifica sei (l'invenzione dei numeri, gli irrazionali, la natura del pi greco, i numeri complessi, le geometrie non euclidee), costruendoci attorno un viaggio attraverso la storia della disciplina, inframmezzato di innumerevoli riferimenti storici e letterari (da Stendhal alle lettere tra André Weil e la sorella Simone che mettono in risalto la bellezza del ragionamento). Un'opera scorrevole ma profonda, che esplora il percorso della matematica attraverso i secoli da un punto di vista inedito. Val veramente la pena di leggerlo.