Può sembrare intuitivamente chiaro, ma in realtà non è così semplice mostrare che il problema isoperimetrico per un poligono piano viene risolto dall'n-agono regolare (suppongo che la dimostrazione si basi su considerazioni legate alla simmetrizzazione analoghe a quelle fatte da Jakob Steiner per trattare il caso generale; qualcosa si può trovare qui). Ad ogni modo, dando per assodato questo fatto, non è difficile ricavare una disuguaglianza isoperimetrica per un n-agono piano: dato che per il perimetro P_n e l'area A_n dell'n-agono inscritto in un cerchio di raggio unitario vale
P_n=2n\,\sin\frac{\pi}{n} \quad,\quad A_n=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\quad,\quad\frac{P_n^2}{A_n}=4n \,\tan\frac{\pi}{n}
otteniamo immediatamente la disuguaglianza isoperimetrica per un n-agono piano
4n \,\tan\frac{\pi}{n} \cdot A_n \le P_n^2 \quad.
Dedichiamo un'ultima considerazione al rapporto \frac{P_n^2}{A_n}: per n=3,4,5, 6,7,8,9, 100,1000 esso assume approssimativamente i valori
20.78\;,\;16\;,\;14.53\;,\;13.86\;,\;13.48\;,\;13.25\;,\;13.10\;,\;12.57\;,\;12.57
Il calcolo "formale" del limite, con l'ausilio della regola di Bernoulli-L'Hôpital
(e del principio di trasposizione per i limiti di funzioni) fornisce il risultato
\lim_{n\to\infty}\frac{P_n^2}{A_n}=\lim_{n\to\infty}4n \,\tan\frac{\pi}{n}=\lim_{x\to+\infty}4x \,\tan\frac{\pi}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}
e
\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{-\pi\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)}{x^2}}{-\frac{1}{4x^2}}=4\pi \quad.
Quindi con n\to\infty riotteniamo, in questo modo, l'originale disuguaglianza isoperimetrica
4\pi A \le P^2 \quad.