Uno più due più tre più ecc.

Qual è il risultato della "somma infinita"
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots \quad\quad ?
$$

Beh, "non c'è", risponderete, oppure "infinito" (nel senso della definizione di limite: un numero sufficiente di addendi consente di sfondare qualsiasi barriera).

Srinivasa Ramanujian, però, non era dello stesso avviso, come dimostra questo estratto dai suoi appunti:

Cioè:
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots = -\frac{1}{12} \quad.
$$

Bizzarro, nevvero? Se non ne siete convinti, date un'occhiata anche al seguente video, tratto da Numberphile:

Ah, e potrei anche aggiungere che, a quanto pare, tale risultato è di qualche utilità in fisica, nella spiegazione dell'effetto Casimir...

Quadri da un'esposizione

Qualche settimana fa un (ottimo) ex-allievo, ora studente di fisica, mi ha confessato la sua difficoltà nel venire a patti con l'integrale di Lebesgue, forse a causa di una certa difficoltà nel capire le motivazioni che avevano indotto il matematico francese a stravolgere (ampliandola, in verità) la ben nota definizione Riemanniana. Lì per lì avevo saputo rispondere solo in maniera vaga, ricordando che con la "nuova" definizione è possibile integrare una famiglia più ampia di funzioni.

Purtroppo non avevo ancora terminato The Calculus Gallery, di William Dunham, senz'altro il più convincente libro sulla storia dell'analisi che mi sia capitato di leggere. Come si intuisce dal titolo, l'opera è idealmente strutturata come una galleria d'arte: ogni capitolo, come la sala di un virtuale museo, ci presenta un Maestro assieme ad uno o più dei suoi capolavori. Per citare quanto Dunham nota nella postfazione, la visita inizia dall'ala destinata all'Età Antica (Newton, Leibnitz, Johann e Jakob Bernoulli, Euler), per passare ai Classici (Cauchy, Riemann, Liouville, Weierstrass) e infine ai Moderni (Cantor, Volterra, Baire ed infine, appunto, Lebesgue). Attraverso un'oculata scelta di esempi, il "percorso espositivo" ci conduce dapprima attraverso un'analisi basata sul calcolo con le serie infinite, applicate a problemi sempre più spettacolari, che culminano con i virtuosismi di Eulero (ad esempio nella stima del pi greco); in un secondo tempo entra in campo il concetto di limite: Cauchy lo applica allo studio delle derivate, mentre Riemann lo utilizza per formalizzare la nozione di integrale. Nel frattempo, Liouville ricava grazie alle derivate la disuguaglianza che gli permetterà di costruire il primissimo numero trascendente. Più avanti, la scoperta di funzioni sempre più "patologiche" fa da motore per un'ulteriore evoluzione del Calculus, che con Cantor e Baire si sposa con la nascente teoria degli insiemi e, almeno per quanto riguarda il libro di Dunham, culmina con le innovazioni di Lebesgue, il primo a comprendere appieno i limiti dell'integrale di Riemann e ad estenderlo per giungere ad una definizione (basata, essenzialmente, su rettangoli orizzontali anziché verticali) che permette di controllare l'interscambiabilità dell'integrazione con l'operazione di passaggio al limite.

Insomma un gran libro, un altro notevole esempio di "divulgazione di alto livello", pensato soprattutto per chi un'infarinatura dei concetti trattati già la possiede. Leggetelo.

Korobeiniki

Probabilmente nessun videogame può vantare il successo di Tetris, il rompicapo ideato nel 1984 dall'ingegnere sovietico Alexey Leonidovich Pajitnov. Anche per quanto mi riguarda, credo di aver trascorso letteralmente settimane della mia vita a giocarci (ma forse esagero...). Ricordo che acquistai la mia prima versione, su cassetta per il Commodore 64, a Londra, al Virgin Megastore presso Marble Arch; più tardi ne distrussi letteralmente una versione tascabile nel corso di un interminabile "corso di ripetizione" nella gelida S-Chanf; ci ho giocato nei bar, su due telefonini Ericsson, su due iPhone, sull'iPad e online. Ma continuo a ritenere insuperata la versione per il Gameboy originale, con il martellante arrangiamento di Korobeiniki in sottofondo (ascolta qui, qui, qui e qui); ci ho giocato ancora poche ore fa: incredibile ma vero, dopo 23 anni il mio primo GB funziona ancora.

Un passatempo di natura geometrica come Tetris non poteva certo sfuggire all'attenzione dei matematici (anche grazie alla natura un po' nerd di questi ultimi); in effetti, non è difficile reperire in rete alcuni studi che prendono il gioco terribilmente sul serio. Heidi Burgiel, in How to Lose at Tetris, mostra che quasi tutte (in senso probabilistico) le partite di Tetris si concluderanno con una sconfitta, partendo dal fatto che una partita consistente esclusivamente di tetramini alternativamente a forma di Z e di S terminerà al massimo dopo la discesa di 69600 pezzi. In Tetris is Hard, Even to Approximate, invece, Erik Demaine, Susan Hohenberger e David Liben-Nowell analizzano la versione deterministica del gioco (dove la sequenza dei tetramini è nota a priori), riuscendo a dimostrare tra l'altro che i problemi "massimizzare il numero di righe", "massimizzare il numero di pezzi collocati" e "massimizzare il numero di tetris" sono tutti NP-completi.