Uno più due più tre più ecc. - Parte IV

Ecco una versione estesa del video di Numberphile da cui tutto ha avuto inizio. Tra l'altro, in esso si fa menzione del fatto che la "magica somma" 1+2+3+... ha qualcosa a che fare con le 26 dimensioni della versione originale della teoria delle stringhe.

Uno più due più tre più ecc.

Qual è il risultato della "somma infinita"
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots \quad\quad ?
$$

Beh, "non c'è", risponderete, oppure "infinito" (nel senso della definizione di limite: un numero sufficiente di addendi consente di sfondare qualsiasi barriera).

Srinivasa Ramanujian, però, non era dello stesso avviso, come dimostra questo estratto dai suoi appunti:

Cioè:
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots = -\frac{1}{12} \quad.
$$

Bizzarro, nevvero? Se non ne siete convinti, date un'occhiata anche al seguente video, tratto da Numberphile:

Ah, e potrei anche aggiungere che, a quanto pare, tale risultato è di qualche utilità in fisica, nella spiegazione dell'effetto Casimir...