Crescita esponenziale

Tra gli esempi più "gettonati" per illustrare l'incredibile rapidità della crescita esponenziale vi è senz'altro la "leggenda degli scacchi", efficacemente narrata nell'incipit del bel romanzo La variante di Lüneburg di Paolo Maurensig: "Sembra che l'invenzione degli scacchi sia legata a un fatto di sangue. Narra infatti una leggenda che quando il gioco fu presentato per la prima volta a corte il sultano volle premiare l'oscuro inventore esaudendo ogni suo desiderio. Questi chiese per sé un compenso apparentemente modesto, di avere cioè tanto grano quanto poteva risultare da una semplice addizione: un chicco sulla prima delle sessantaquattro caselle, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via... Ma quando il sultano, che aveva in un primo tempo accettato di buon grado, si rese conto che a soddisfare una simile richiesta non sarebbero bastati i granai del suo regno, e forse neppure quelli di tutta la terra, per togliersi dall'imbarazzo stimò opportuno mozzargli la testa."

Tale leggenda, evidentemente di origine orientale,  doveva essere ben nota in occidente già nel XIII secolo, dal momento che Dante ne fa uso nel Canto XXVIII del Paradiso ("più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla") per descrivere la moltitudine degli Spiriti Angelici.

Il cortometraggio animato 2^n: A Story of The Power of Numbers, prodotto dai coniugi Ray e Charles Eames (quelli di Powers of 10, di cui ho parlato qui) traduce la leggenda in forma di cartoon. Eccolo qui (finché qualcuno non lo rimuoverà; comunque è disponibile nella app gratuita Minds of Modern Mathematics):

Maths on the beach

Matematica sulla spiaggia. Il caos e il ferro di cavallo è un'interessante conversazione con il celebre matematico Stephen Smale uscita nella collana Dialoghi scienza dell'editore Di Renzo. Dall'impegno politico nella sinistra studentesca fino ai trionfi nei campi della topologia e dei sistemi dinamici, premiati con i riconoscimenti più prestigiosi (Medaglia Fields 1966, condivisa con altre tre Leggende, Premio Wolf 2007), il libretto delinea in modo abbastanza efficace il percorso personale e la carriera di una delle figure più significative della matematica della seconda metà del XX secolo, nota anche per la dimostrazione della Congettura di Poincaré per dimensioni maggiori di quattro (risultato, ahimè, maldestramente accennato nella quarta di copertina). Curioso (ma in fondo non così sorprendente) il modo di "fare matematica" di Smale, che per alcuni tra i suoi risultati più interessanti trovò ispirazione sulla spiaggia di Copacabana.

A conferma del suo enorme prestigio, si può ancora aggiungere che nel 1998, su invito dell'Unione Matematica Internazionale (allora presieduta da Vladimir Arnol'd) Smale compilò un elenco di problemi (pubblicati anche qui) per la matematica del XXI secolo, compito che cent'anni prima era stato assunto nientepopodimeno che dal grande David Hilbert.

I magnifici sette

Il calcolatore universale, del matematico statunitense Martin Davis, rappresenta un riuscitissimo tentativo di delineare attraverso sette Protagonisti (Leibnitz, Boole, Frege, Cantor, Hilbert, Gödel e Turing) il percorso che ha condotto alla moderna teoria della computazione, dai sogni di Leibnitz e Hilbert ("Wir müssen wissen, wir werden wissen") alla macchina di Turing, passando attraverso la logica formale di Boole e l'incompletezza di Gödel, senza dimenticare il ruolo fondamentale del metodo della diagonale di Cantor. Davis, allievo di Alonzo Church e a sua volta matematico di prim'ordine (contribuì alla risoluzione del decimo problema di Hilbert) descrive in modo chiaro il lungo cammino che ha infine condotto, quasi come "effetto collaterale", alla creazione dei primi computer, sia soffermandosi sulle vicende umane dei Protagonisti, sia cercando di rendere comprensibile ad un lettore non particolarmente esperto le geniali idee che hanno ispirato alcuni tra i più spettacolari risultati della matematica del XX secolo. Caldamente consigliato.

Da Ahmes a Fourier

La trigonometria rappresenta probabilmente il primo argomento "forte" della matematica liceale, dopo un'interminabile sequela di ripassi di carattere tecnico, necessari sì ma non propriamente esaltanti. Rappresenta anche la prima, vera occasione di affrontare il discorso geometrico oltre lo scontato teorema di Pitagora (che tanto scontato non è: vedi qui). Ma spesso non ne approfittiamo appieno: sull'onda di quanto fatto in precedenza, tendiamo a sciorinare definizioni, teoremi ed identità senza troppo entusiasmo, forse perché a nostra volta non abbiamo mai approfondito l'argomento dopo il liceo (in fondo, non si tratta di matematica di livello universitario...). Il libro Trigonometric Delights di Eli Maor (un vero esperto in questo tipo di operazioni, vedi qui e qui) si propone proprio di arricchire le conoscenze trigonometriche del lettore dal punto di vista storico e interdisciplinare, ripercorrendo lo studio degli angoli e delle loro applicazioni dalla geometria del papiro Rhind (circa 1650 a.C.) all'analisi di Fourier (XVIII / XIX sec.). Particolare attenzione viene dedicata alle applicazioni astronomiche e cartografiche (come la proiezione di Mercatore). Risultano inoltre interessanti le curiosità disseminate nel testo (una l'ho già menzionata qui altre seguiranno), così come le brevi biografie di alcuni Protagonisti (il Regiomontano, Viète, De Moivre, Maria Agnesi, Lissajous e Landau).

Una lettura stimolante e consigliatissima, quindi. Tra l'altro, il libro è disponibile gratuitamente online qui, sul sito dell'editore.

Topologia?

Un ottimo studente di IV, Mario J., mi ha sottoposto qualche giorno fa un intrigante rompicapo, che vi ripropongo nella forma originale:

(sorvoliamo sull'abuso del simbolo di uguaglianza).
A giudicare da quanto si dice in rete, il tempo richiesto per la risoluzione dovrebbe essere inversamente proporzionale alle competenze matematiche: un alunno della scuola primaria lo risolverebbe in brevissimo tempo mentre pare che per chi è in possesso di un Ph.D. l'impresa sia disperata.

Io, che un Ph.D. ce l'ho, ci ho impiegato alcuni minuti. Devo rallegrarmene o preoccuparmi?

Letture...

Dal cumulo di detriti che ricopre la mia scrivania sono emersi tre libri che ho letto alcuni mesi fa. Purtroppo il ricordo è troppo sbiadito per poterli recensire con cognizione di causa; mi limiterò a menzionarli brevemente.

• Bricologica. Trenta oggetti matematici da costruire con le mani, di Robert Ghattas. Un libro per certi versi simile a questo, ma con qualche pretesa in più, sia dal punto di vista estetico che da quello matematico. Molto carino, anche se alcuni tra gli approfondimenti risultano forse un po' troppo sintetici.
• Il meraviglioso modo dei numeri, di Alex Bellos. Forse non farà "amare la matematica a tutti, anche a chi l'ha odiata a scuola", come recita il sottotitolo, ma potrà senz'altro contribuire a renderla un po' meno antipatica. Successioni, equazioni, pi greco, la sezione aurea sono solo alcuni degli argomenti scelti dal simpatico divulgatore inglese per trasmetterci la sua genuina passione per la matematica. Trovo particolarmente interessante la selezione di aneddoti proposti dall'autore, che contribuiscono a rendere più umane alcune figure di cui siamo abituati a leggere soltanto i nomi sui testi scolastici e universitari (un esempio: l'ossessione di Henri Poincaré per la misura delle baguettes). Un libro che mi sento di consigliare senza riserve (nonostante qualche leggerezza sparsa qua e là).
• L'assassino degli scacchi e altri misteri matematici, di Benoît Rittaud, un'antologia a sfondo matematico. Non tutti i racconti mi hanno ugualmente convinto dal punto di vista narrativo, ma  ho apprezzato senza riserve gli approfondimenti che fanno da corredo alle storie. Mi è piaciuto in particolare l'episodio che dà il titolo alla raccolta, nonché la vicenda, arcinota ma sempre stuzzicante, di Talete che misura la piramide "ascoltando le confidenze del cielo".