Dal caos... l'ordine

Ispirato dall'ultimo capitolo del libro di Guerraggio (e dal romanzo della Shaw), nel corso dell'estate ho letto (a dire il vero in modo un po' sbrigativo e superficiale) Caso e caos, di David Ruelle, professore emerito all'IHES di Bures-sur-Yvette, esperto di turbolenza e (co-)autore del termine attrattore strano (utilizzato nella teoria dei sistemi dinamici per caratterizzare gli attrattori provvisti di  una struttura frattale), uscito nella collana I Grandi Pensatori da Bollati Boringhieri. Partendo dalla nozione di probabilità, il libro ci conduce attraverso i tentativi operati dalla matematica per cercare di venire a patti con l'imprevedibile, lungo un percorso che dal determinismo classico ci conduce in modo turbolento verso i risultati di Poincaré & co. sulla dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, per poi inoltrarsi nel discorso sugli attrattori e quindi sugli strumenti introdotti più di recente per lo studio dei comportamenti caotici. A seguire, troviamo alcune digressioni di carattere fisico (meccanica quantistica, meccanica statistica) ed economico. Nell'ultima parte del libro Ruelle si inoltra poi in alcuni aspetti della teoria dell'informazione, affrontando il tema della complessità algoritmica per rivelarci, infine, anche grazie all'aiuto di Kurt Gödel, qual è il vero significato del sesso.

Al di là degli aspetti prettamente tecnici, il libro si segnala anche per alcuni commenti polemico/sarcastici sulla matematica. Ad esempio, citando Kolmogorov Ruelle ci fa sapere che "il normale sviluppo psicologico di una persona ha termine nel momento esatto in cui sboccia il talento matematico" (come dargli torto?), oppure nota che "la scienza contemporanea internazionale tende a confondersi con la scienza americana". Risultano pure molto gustose le sue descrizioni dei seminari di ricerca, spesso frequentati più per dovere che per interesse (ne so qualcosa...) o dei diversi modi di riflettere su un problema di carattere scientifico.

Insomma un altro notevole esempio di divulgazione di alto livello, che val decisamente la pena di leggere, forse però un po' proibitivo per già non possiede qualche conoscenza dei temi trattati.

Storie di idee

Già a partire dal titolo del suo ultimo libro (15 grandi idee matematiche che hanno cambiato la storia), Angelo Guerraggio mette in chiaro una cosa: la matematica non è costituita da definizioni, teoremi o formule, ma da idee. Grandi idee, piccole idee, colpi di genio che, abilmente intrecciati, costituiscono il formidabile tessuto di una disciplina che, più di ogni altra, ha influenzato il nostro modo di vivere (o, come recita il sottotitolo, ha cambiato la storia). Ed è appunto attraverso una scelta di idee che Guerraggio ci propone una "sua" storia della matematica, dal metodo deduttivo inaugurato da Euclide fino alla moderna teoria del caos, mescolando sapientemente progressi tecnici, cambiamenti di paradigma e vere e proprie  rivoluzioni filosofiche. La scelta degli argomenti è forse soggettiva, ma certamente rappresentativa dell'evoluzione della disciplina. Si parte, come detto, dalla matematica greca, con gli Elementi (opera che ha letteralmente soggiogato la matematica europea per quasi due millenni) e quindi dal metodo assiomatico, fortemente presente anche nella matematica del XIX/XX secolo. Si prosegue con il concetto di numero, dai conigli di Fibonacci all'algebra italiana del XVI secolo. Il terzo capitolo è dedicato alla rivoluzione galileiana, che ha posto le basi per la matematizzazione della fisica (e per l'avvento dei metodi analitici). Geometria analitica classica (Descartes, quindi) e prospettiva trovano il giusto spazio, seguite dal calcolo differenziale e integrale. L'ottavo capitolo riguarda uno dei miei argomenti preferiti, la teoria dei numeri e le sue applicazioni crittologiche (ivi compreso, ovviamente, l'RSA). Il nono ha invece un carattere più generale: il tema è la progressiva astrazione del discorso matematico, in particolare nel corso del XIX, dagli esordi dell'algebra "vera e propria" fino alle matrici, alle geometrie non euclidee e alla sistemazione del concetto di numero. Si passa poi ai primi tentativi di applicazione delle matematiche alle scienze economiche e sociali, con particolare attenzione al contributo di Vilfredo Pareto e alle riflessioni di Vito Volterra sui modelli matematici. L'undicesimo capitolo è dedicato ai bourbakisti, e quindi all'importanza sempre maggiore del concetto di struttura. Non poteva poi mancare Kurt Gödel, che con i suoi risultati sull'incompletezza fece accantonare definitivamente il sogno hilbertiano di catturare tutte le verità matematiche su base assiomatica. Sempre in ambito logico-matematico vi è poi un capitolo dedicato ad Alan Turing e all'avvento del computer. Gli ultimi due capitoli sono dedicati "al Caso e al Caos" (per citare un altro libro che ho letto di recente), cioè rispettivamente al calcolo delle probabilità e alla teoria, appunto, del caos.

Insomma, un ottimo esempio di divulgazione "alta", dedicata a chi ha qualche competenza matematica (per lo meno liceale), utile anche per situare storicamente personaggi e fatti, che mi sento di consigliare senza alcuna riserva.

Cthulhu sull'ArXiv

[A dire il vero questo post era soltanto un abbozzo. Avevo iniziato a scriverlo mesi fa, ma evidentemente mi ero dimenticato di terminarlo. Lo pubblico comunque.]

Ho già parlato dell'ossessione (una fra le tante...) di Howard Phillips Lovecraft per le geometrie non euclidee. Esse fanno la loro comparsa anche in uno dei racconti più famosi del Solitario di Providence, The Call of Cthulhu (leggibile per intero qui), dove HPL introduce il più noto tra i componenti del suo inquietante pantheon. In particolare, nella terza parte del racconto, The Madness from the Sea, l'immaginario narratore fa esplicitamente uso dell'aggettivo non-Euclideo, parlando ad esempio di "un angolo acuto che si comporta come se fosse ottuso".

Gli aspetti matematici del racconto di Lovecraft hanno evidentemente stimolato la curiosità del fisico Benjamin Tippett, che nel breve saggio Possible Bubbles of Spacetime Curvature in the South Pacific finge di prendere sul serio la questione, esaminando le affermazioni del marinaio Gustaf Johansen con la lente del matematico. Il paper in questione è disponibile qui, archiviato tra i preprints dell'ArXiv.

Tre corpi

Il problema dei tre corpi (o, più in generale, degli n corpi), cioè la descrizione del moto di tre (risp. n) oggetti sottoposti alle leggi della meccanica classica, rappresentò una delle più importanti sfide della matematica ottocentesca. Un impulso decisivo al suo studio venne dato dal premio indetto dal re di Svezia e di Norvegia Oscar II nel 1889 in occasione del suo sessantesimo compleanno, con la supervisione del matematico Gösta Mittag-Leffler. Com'è noto, Henri Poincaré si aggiudicò tale premio con una soluzione parziale, la cui prima versione conteneva però un errore decisivo (Poincaré dovette accollarsi la spesa della ristampa del numero di Acta Mathematica in cui venne pubblicato il suo contributo). L'errore di Poincaré mise in rilievo l'estrema dipendenza delle soluzioni dalle condizioni iniziali, inaugurando di fatto lo studio di quella che oggi è nota come "teoria del caos".

Il premio indetto dal re di Svezia fa da sfondo al mystery The Three Body Problem (titolo dall'evidente doppio senso) di Catherine Shaw, nom de plume della matematica inglese Leila Schneps, il primo di una tetralogia dedicata al personaggio di Vanessa Duncan, maestrina inglese con l'hobby dell'investigazione. Nel corso del romanzo, scritto in prima persona sotto forma di lettere alla sorella (dallo stile un po' troppo  stucchevole) l'autrice fa abilmente giostrare la protagonista all'interno della comunità matematica di fine '800, tratteggiando con cura la psicologia dei protagonisti, con riferimenti che evidenziano un'accurata ricerca storica (i giochini di Lewis Carroll e gli articoli di Oscar Wilde, la difesa dell'assiomatica Euclidea da parte di Arthur Cayley). Fra i personaggi con cui la Shaw fa interagire la sua eroina si segnalano in particolare re Oscar II e Mittag-Leffler, i cui interventi si rivelano decisivi nella soluzione del mistero. 

Insomma, una lettura gradevole, adatta al periodo estivo, anche se non sempre plausibilissima (in particolare per quanto riguarda le scorribande di Vanessa attraverso l'Europa e il ruolo da deus ex machina del re di Svezia).  Tra l'altro, a quanto ne so, dei libri della Shaw (forse un po' troppo "di nicchia") non esiste una traduzione italiana.

A proposito...

... di John Derbyshire: eccolo in un'interpretazione (non proprio entusiasmante) della prima strofa della canzone sull'ipotesi di Riemann composta da Tom Apostol, professore emerito al CalTech: 

Caliamo un velo pietoso?

 Il testo completo:

Where are the zeroes of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess;
They're all on the critical line, saith he,
And their density's one over 2 p log t.

This statement of Riemann's has been like a trigger,
And many good men, with vim and with vigour,
Have attempted to find, with mathematical rigour,
What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
Littlewood, Hardy and Titchmarsh are there,
In spite of their effort and skill and finesse,
In locating the zeros there's been little success.

In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number do lay on the line,
His theorem, however, won't rule out the case,
There might be a zero at some other place.

Oh, where are the zeroes of zeta of s ?
We must know exactly, we cannot just guess.
In order to strengthen the prime number theorem,
The integral's contour must never go near 'em.

Let P be the function p minus Li,
The order of P is not known for x high,
If square root of x times log x we could show,
Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,
Concerning the Lindelöf function mu sigma.
Which measures the growth in the critical strip,
On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,
Convexity tells us it can have no waves,
Lindelöf said that the shape of its graph,
Is constant when sigma is more than one-half.

There's a moral to draw from this sad tale of woe,
Which every young genius among you should know:
If you tackle a problem and seem to get stuck,
Use the Riemann Mapping Theorem and you'll have better luck.