La Quinta aurea

Fra i brani spesso menzionati in relazione alla sezione aurea c'è pure la Quinta Sinfonia di Ludwig van Beethoven, citata e stracitata pure nella musica leggera. Le prime cinque battute dell'introduzione (il destino che bussa alla porta) sono ormai leggenda:

 

Come fece notare nel 1978 il didatta della matematica Derek Haylock (in un articolo difficile da reperire, ma essenzialmente replicato qui), nella partitura originale il primo movimento della Sinfonia consiste di 600 battute, e alla 372-esima ritroviamo una ripetizione dell'incipit. I rapporti 600:372 e ancora di più (applicando il trucchetto rivelato qui) 972:600 forniscono approssimazioni abbastanza precise del valore di phi. 

Caso o calcolo? A dire il vero non farebbe una grande differenza. 

Ascoltiamocela, però, in quella che viene da alcuni considerata la migliore interpretazione di sempre, eseguita nel 1974 dai Wiener con la bacchetta di Carlos Kleiber:

Altre letture…

Tre libri, che hanno, anche solo marginalmente, a che fare con la matematica (i numeri 57, 64 e 65 di questo 2021 ricco di letture, non proprio tutte tutte edificanti, però).

• Dall’improbabile all’infinito, di Edward B. Burger e Michael Starbird. Il sottotitolo, Caos, coincidenze e altre sorprese matematiche, descrive fedelmente quello che ci si può aspettare dal libro. In particolare, ci troviamo tutta una serie di argomenti resi popolari dalla divulgazione matematica: in ordine sparso, la crittografia, la sezione aurea e i numeri di Fibonacci, il concetto di dimensione, l’ipercubo, l’Hotel Hilbert, il caos, la serie armonica, il nastro di Möbius, … Ho particolarmente apprezzato, perché ho imparato qualcosa di nuovo, il capitolo dedicato agli Origami, che dalla semplice piegatura di un nastro di carta ci conduce su, su fino alla curva del drago e quindi alla geometria frattale, e perfino alla macchina di Turing. Il volume è pensato per i non-specialisti, e quindi mantiene un livello di approfondimento moderato. Mi sento davvero di consigliarlo.
• Un po' meno consigliabile, a mio avviso, è Quando abbiamo smesso di capire il mondo, di Benjamin Labatut. Gli eroi di questo libro sono alcuni tra i personaggi, nel bene e nel male, più interessanti della scienza del XX (e XXI, in parte) secolo: Fritz Haber, Karl Schwarzschild, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger. E, soprattutto, Alexander Grothendieck e Shinichi Mochizuki. Ed è soprattutto la presenza di questi ultimi ad avermi convinto ad acquistare e leggere il libro. Man mano che proseguivo nella lettura, però, ho avvertito la sensazione crescente che qualcosa non mi quadrasse. E, in effetti, al capitolo "Ringraziamenti" l'autore ci rivela che "la quantità di finzione va aumentando nel corso del libro", e che, in particolare, la biografia di Mochizuchi è inventata di sana pianta (certo, sarebbe stato commovente se al capezzale di Grothendieck ci fosse stato lui, un po' meno se in seguito il matematico giapponese avesse davvero tentato di dar fuoco alla biblioteca dell'Università di Montpellier). Alcune delle invenzioni, poi, mi sembrano di gusto non proprio ottimo, tipo i deliri mistico/erotici di Heisenberg nella notte di Helgoland.
  In sintesi, ma ovviamente si tratta della personalissima opinione di un non-letterato, un'opera in bilico tra biografia e fiction (ma sbilanciata su quest'ultima), di cui francamente fatico a comprendere a fondo le finalità. 
• I geni della creatività, di Simon Baron-Cohen (il cugino di Borat - sì, per davvero). L'ho letto perché Michele Emmer ne parlava qui, e mi ha incuriosito. Baron-Cohen, un'autorità nello studio dei disturbi dello spettro autistico, identifica nel "meccanismo di sintetizzazione" (l'identificazione degli schemi che lui definisce "se-allora") la capacità di far fronte alle nuove sfide che ha guidato l'evoluzione del genere umano. Bilanciando la capacità di sistematizzare con l'empatia, Baron-Cohen identifica cinque tipologie di cervello, dal "tipo S estremo" dei super-sistematizzatori (alla Edison) al "tipo E estremo" di chi è, ad esempio, totalmente refrattario alle nuove tecnologie ma insuperabile nella gestione dei rapporti umani.
  Ovviamente, il "tipo S" (anche piuttosto estremo), fa spesso capolino, almeno secondo la mia esperienza, all'interno dei dipartimenti di matematica...
  

Geometria vintage

Un annetto e mezzo fa (sembrava un’altra epoca), un paio di settimane prima che il mondo precipitasse nel caos pandemico, da un antiquario vicino alla Galleria degli Uffizi ho acquistato, quasi per caso, un volumetto di geometria vecchio di quasi duecent’anni (l’antiquariato librario suscita sempre la mia curiosità). Si tratta delle Instituzioni delle sezioni coniche ordite dal sacerdote D. Felice Giannattasio, pubblicato a Napoli nel 1830. In stile perfettamente euclideo, il Giannattasio propone una rigorosa costruzione delle sezioni coniche, preceduta da una dotta introduzione storica. Il trattato, che non ho avuto il coraggio di leggere nei dettagli, è costituito da uno stillicidio di assiomi che, passo dopo passo, conducono ai ben noti risultati su ellisse, iperbole e parabola. Ad esempio, la proposizione XXVI consiste nella celebre definizione del giardiniere dell’ellisse:

La trattazione delle coniche a livello liceale, oggi (sempre che le si tratti, cosa a mio avviso non indispensabile) avviene con linguaggi e metodi diversi, tra l’altro già disponibili nel 1830. Innanzitutto si fa uso della geometria analitica, che Giannattasio mostra peraltro di conoscere:

E, soprattutto, le definizioni piane vengono derivate dalle intersezioni di un piano e un cono per mezzo delle geniali intuizioni di Pierre de Dandelin (pubblicate nel 1822), le cui sfere permettono una transizione del tutto naturale dallo spazio tridimensionale al piano.

Curiosando qua e là nel libro, mi sono imbattuto in un piccolo risultato di geometria piana che per qualche motivo ha risvegliato la mia curiosità:

Giannattasio lo dimostra facendo uso di due proposizioni degli Elementi che, essenzialmente, rappresentano dei precursori del Teorema del coseno (noto in Italia anche come Teorema di Carnot):

 

Utilizzando le potenti tecniche messe a disposizione dal Delle Carte potremmo anche argomentare come segue:

Qualche notizia biografica sul Giannattasio la si può trovare qui, sul sito dedicato ai più illustri cittadini di Solofra, in provincia di Avellino. Vi si trova pure un sonetto a lui dedicato, composto da un altro Solofrano illustre, il sacerdote Carmine Troisi:

Il matematico 

Felice Giannattasio, figlio mio,

era un valore nelle scienze esatte,

e, al tempo stesso, un ministro di Dio,

d'indole poi tutta miele e latte;

semplice e schietto inoltre, come un rio

che serpeggiando vada tra le fratte,

di cui, pur fioco essendo il mormorio,

ogni seme feconda in cui s'imbatte.

Era anche un uom di spirito e frugale,

sì che spesso un bel cavolo fumava

sul suo rude ma candido mensale,

un cavolo che lui stesso comprava,

condendol poi con dell'olio e sale,

appunto come, al secol d'òr, s'usava.