Prosta - che?

Le formule di prostaferesi, abbastanza note agli studenti liceali, come
$$
\cos(\alpha)+\cos(\beta)= 2\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \; ,
$$

rappresentano (al pari del logaritmo, che precedono di qualche decennio), una relazione tra addizione e moltiplicazione di numeri reali (di fatto, con la formula di Eulero non è difficile mostrare che si tratta di un'altra faccia della stessa medaglia). Quello che però non molti sanno è che per una trentina d'anni, a partire dal 1580 circa, il cosiddetto metodo di prostaferesi fu sfruttato dagli astronomi (Come Tycho Brahe) per semplificare il calcolo dei prodotti. Esso si basa sulle formule "inverse", dette di Werner (dal nome del matematico tedesco Johann Werner, che le derivò all'inizio del XV secolo); la versione per il coseno, derivabile dalla soprastante rimpiazzando $\alpha$ e $\beta$ con $\alpha+\beta$ e $\alpha-\beta$ rispettivamente, è

$$
\cos(\alpha)\,\cos(\beta) = \frac{1}{2}( \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) \, .
$$

Volendo, ad esempio, calcolare il prodotto $1,5 \cdot 2,5$ (come abbiamo fatto qui con l'aiuto dei logaritmi) scriviamo innanzitutto, con l'aiuto delle tavole per il coseno (queste, ad esempio),

$$
1,5 \cdot 2,5 = 100 \cdot 0,15 \cdot 0,25 \cong 100 \cdot \cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ)
$$ e quindi, con la formula di Werner e nuovamente con le tavole,
\begin{eqnarray*}
\cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ) &=&
\frac{1}{2}( \cos(156,9^\circ) + \cos(5,9^\circ)) \\
&=&
\frac{1}{2}( -\cos(23,1^\circ) + \cos(5,9^\circ))
\cong 0,037441
\end{eqnarray*}

da cui si ricava $1,5 \cdot 2,5 \cong 3,7441$, con un errore dello 0,16% circa rispetto al risultato esatto. Sulla scorta di questo esempio non è difficile immaginare come tale metodo, abbastanza macchinoso, sia stato rapidamente spazzato via dalla scoperta dei logaritmi.

Un altro esempio di calcolo di questo tipo, opera di Brian Borchers, è disponibile qui, assieme a qualche cenno storico. Chi volesse approfondire maggiormente gli aspetti storici della questione può inoltre consultare (qui) il saggio Prostaphaeresis Revisited, apparso sulla rivista Historia Mathematica nel 1988, dove lo storico dell'astronomia Victor E. Thoren fa un po' di luce sull'attribuzione di un metodo che, seppure oscuro, ha certamente rappresentato una tappa importante nell'evoluzione del calcolo numerico.

Storie di numeri - 1

S'intitola semplicemente Numeri il saggio pubblicato un annetto fa dal matematico, storico della matematica e divulgatore Umberto Bottazzini per l'editore  il Mulino. Abbastanza breve e di agile lettura, il volumetto, senza scendere troppo nei particolari, ci conduce attraverso millenni di storia della matematica, dall'osso di Vestonice (ca. 30000 a.C.) ai teoremi di Gödel, parlandoci da un lato dell'evoluzione della nozione di numero, dall'altro del modo in cui i numeri vengono scritti. Gli argomenti trattati sono piuttosto classici, e all'autore riesce di trasmetterceli con un linguaggio semplice e diretto, adatto anche al lettore occasionale. L'ordine dei capitoli del libro è prevalentemente cronologico: l'apertura è dedicata alla nascita del "senso del numero", comprendendo anche qualche considerazione sulla percezione numerica nel mondo animale. Si prosegue con la rappresentazione dei numeri nell'antichità (babilonese e egizia, in particolare), per poi passare alla matematica "vera", con le scoperte della matematica greca (come l'incommensurabilità tra segmenti, che in ambito numerico si traduce nell'irrrazionalità, i numeri primi e i numeri perfetti), con una serie di flash-forward che essenzialmente traducono nel linguaggio numerico le intuizioni prevalentemente geometriche proprie della matematica di Euclide & co.

A fare da spartiacque tra gli argomenti "classici" e moderni (numeri complessi, reali e oltre) vi è poi un capitolo sulle figure degli indi, ossia le "cifre arabe", migrate da oriente a occidente in particolare grazie a Fibonacci e al suo Liber abaci.

Insomma, un libro ricco di spunti, che ben si presta all'introduzione in un universo, quello numerico, in cui perdersi (piacevolmente) non è difficile.

Omicidi avanzati

A distanza di qualche anno, ho letto anche la seconda avventura del matematico/detective Don Brodsky, creato dal matematico/scrittore statunitense Erik Rosenthal. Se il primo libro, tutto sommato, qualche punto positivo l'aveva, qui non ci siamo proprio. L'autore intreccia, in un modo piuttosto maldestro, due trame: in quella principale, Brodsky indaga sull'omicidio di un collega avvenuto durante un congresso di matematica (sulla teoria degli operatori e sulle algebre C*, per la precisione); la trama secondaria, invece, lo vede impegnato nella ricerca di una ex attricetta per conto della figlia. Scontato, noioso, inefficace: sono solo alcuni degli aggettivi che mi vengono in mente per definire il romanzo. L'unico punto a suo favore, forse, è la descrizione, da insider, di alcune dinamiche che si instaurano all'interno del mondo accademico, tra professori più o meno influenti e prestigiosi e ricercatori di belle (o meno belle) speranze.