Moltiplicazioni...

Quanto fa $9 \cdot 2$ ? Facile: basta esporre le dieci dita, piegando il secondo...

Funziona anche con $9 \cdot 7$; basta piegare il settimo dito:

Ho imparato questo trucchetto durante una conferenza di Albrecht Beutelspacher, vero e proprio maestro nel fare matematica "con le mani" (vedi anche qui). Alla base c'è la semplice uguaglianza

$$
9n = 10(n-1)+(10-n) $$
da cui segue che per $n=1, \ldots, 9$ le cifre di $9n$ sono $n-1$ e $10-n$.
Non male. E dalla relazione
$$
(b-1)n = b(n-1) + (b-n) = [n-1,b-n]_b
$$

(cioè: le cifre di $(b-1)n$ in base $b$ sono $n-1$ e $b-n$) segue che il trucco si generalizza alla moltiplicazione per $b-1$ in base $b$. Ad esempio, in base 5 i primi multipli di $4$ sono $04$, $13$, $22$, $31$ e $40$:

 

Tatata-tata-ta-tata-

Steve Reich, certamente tra i più influenti compositori della seconda metà del '900, è uno dei pionieri del cosiddetto minimalismo, corrente musicale caratterizzata dall'uso di risorse limitate. E cosa c'è di più minimalista di un battimani alternato? L'idea sembrerebbe abbastanza bislacca, ma l'effetto è tutt'altro che banale. Il brano Clapping Music, concepito da Reich nel 1972, si basa sul progressivo sfasamento della sequenza

composta da otto battiti e quattro pause. Essenzialmente si tratta di una versione "discreta" degli sfasamenti (phasings) caratteristici della musica di Reich (ad esempio nel celebre Piano phase). 

Eccone una versione eseguita da David Hockings a Toby Kearney, percussionisti della London Sinfonietta, orchestra da camera specializzata nell'esecuzione di musica classica contemporanea (che ha pure curato un'app dedicata a chi vuole cimentarsi nell'esecuzione del brano).

E la matematica? Beh, c'entra pure qui. Joel K. Haack, professore alla University of Northern Iowa, ha investigato da un punto di vista combinatorio il brano di Reich, discutendone le peculiarità dal punto di vista dell'algebra elementare (in particolare considerando l'azione del gruppo simmetrico) e proponendone una variazione che eleva da 12 a 60 le trasformazioni necessarie affinché lo schema iniziale si ripeta. L'articolo originale, pubblicato nell'ambito della conferenza Bridges, è qui. Una trattazione dell'argomento da un punto di vista maggiormente didattico, sempra a cura di Haack, si può invece trovare qui.

Geometrie Dantesche

La Commedia abbonda di riferimenti alla matematica e alla geometria: la cosa non può certo stupire, dal momento che la summa della cultura medioevale non poteva certo fare a meno di due delle arti liberali del quadrivium. Nel Paradiso, in particolare, Dante ha fatto efficacemente uso in più di un'occasione di similitudini geometriche, dal non capere in un triangol due ottusi (Par. XVII, 15) al geomètra che tutto s'affige (Par. XIII, 135). Ma è ad un (presunto) uso ben più profondo della geometria da parte dell'Alighieri che fa riferimento un celebre articolo pubblicato nel 1979 sull'American Journal of Physics dal fisico e matematico Mark Peterson, dall'evocativo titolo Dante and the 3-sphere (si può scaricare qui). L'ipotesi di Peterson è quantomeno affascinante: le descrizioni che Dante fa dell'universo rimanderebbero alla struttura di una 3-sfera (cioè l'analogo della superficie sferica nello spazio quadridimensionale). In ciò, il Poeta anticiperebbe di 600 anni nientepopodimeno che Albert Einstein nell'utilizzo delle geometrie non-euclidee in ambito cosmologico. Per supportare la sua tesi, Peterson fa uso di tre descrizioni "moderne" della 3-sfera che troverebbero riscontro nella Commedia, in particolare nel canto XXVIII: come luogo dei punti equidistanti da un centro (in uno spazio 4-dimensionale), come sospensione della 2-sfera e come incollamento di 2 coni lungo una 2-sfera.

L'idea di Peterson è ripresa nel volume Arts meets Mathematics in the Fourth Dimension, di Stephen Lipscomb; il capitolo in questione è scaricabile qui.