Cthulhu sull'ArXiv

[A dire il vero questo post era soltanto un abbozzo. Avevo iniziato a scriverlo mesi fa, ma evidentemente mi ero dimenticato di terminarlo. Lo pubblico comunque.]

Ho già parlato dell'ossessione (una fra le tante...) di Howard Phillips Lovecraft per le geometrie non euclidee. Esse fanno la loro comparsa anche in uno dei racconti più famosi del Solitario di Providence, The Call of Cthulhu (leggibile per intero qui), dove HPL introduce il più noto tra i componenti del suo inquietante pantheon. In particolare, nella terza parte del racconto, The Madness from the Sea, l'immaginario narratore fa esplicitamente uso dell'aggettivo non-Euclideo, parlando ad esempio di "un angolo acuto che si comporta come se fosse ottuso".

Gli aspetti matematici del racconto di Lovecraft hanno evidentemente stimolato la curiosità del fisico Benjamin Tippett, che nel breve saggio Possible Bubbles of Spacetime Curvature in the South Pacific finge di prendere sul serio la questione, esaminando le affermazioni del marinaio Gustaf Johansen con la lente del matematico. Il paper in questione è disponibile qui, archiviato tra i preprints dell'ArXiv.

Tre corpi

Il problema dei tre corpi (o, più in generale, degli n corpi), cioè la descrizione del moto di tre (risp. n) oggetti sottoposti alle leggi della meccanica classica, rappresentò una delle più importanti sfide della matematica ottocentesca. Un impulso decisivo al suo studio venne dato dal premio indetto dal re di Svezia e di Norvegia Oscar II nel 1889 in occasione del suo sessantesimo compleanno, con la supervisione del matematico Gösta Mittag-Leffler. Com'è noto, Henri Poincaré si aggiudicò tale premio con una soluzione parziale, la cui prima versione conteneva però un errore decisivo (Poincaré dovette accollarsi la spesa della ristampa del numero di Acta Mathematica in cui venne pubblicato il suo contributo). L'errore di Poincaré mise in rilievo l'estrema dipendenza delle soluzioni dalle condizioni iniziali, inaugurando di fatto lo studio di quella che oggi è nota come "teoria del caos".

Il premio indetto dal re di Svezia fa da sfondo al mystery The Three Body Problem (titolo dall'evidente doppio senso) di Catherine Shaw, nom de plume della matematica inglese Leila Schneps, il primo di una tetralogia dedicata al personaggio di Vanessa Duncan, maestrina inglese con l'hobby dell'investigazione. Nel corso del romanzo, scritto in prima persona sotto forma di lettere alla sorella (dallo stile un po' troppo  stucchevole) l'autrice fa abilmente giostrare la protagonista all'interno della comunità matematica di fine '800, tratteggiando con cura la psicologia dei protagonisti, con riferimenti che evidenziano un'accurata ricerca storica (i giochini di Lewis Carroll e gli articoli di Oscar Wilde, la difesa dell'assiomatica Euclidea da parte di Arthur Cayley). Fra i personaggi con cui la Shaw fa interagire la sua eroina si segnalano in particolare re Oscar II e Mittag-Leffler, i cui interventi si rivelano decisivi nella soluzione del mistero. 

Insomma, una lettura gradevole, adatta al periodo estivo, anche se non sempre plausibilissima (in particolare per quanto riguarda le scorribande di Vanessa attraverso l'Europa e il ruolo da deus ex machina del re di Svezia).  Tra l'altro, a quanto ne so, dei libri della Shaw (forse un po' troppo "di nicchia") non esiste una traduzione italiana.

A proposito...

... di John Derbyshire: eccolo in un'interpretazione (non proprio entusiasmante) della prima strofa della canzone sull'ipotesi di Riemann composta da Tom Apostol, professore emerito al CalTech: 

Caliamo un velo pietoso?

 Il testo completo:

Where are the zeroes of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess;
They're all on the critical line, saith he,
And their density's one over 2 p log t.

This statement of Riemann's has been like a trigger,
And many good men, with vim and with vigour,
Have attempted to find, with mathematical rigour,
What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
Littlewood, Hardy and Titchmarsh are there,
In spite of their effort and skill and finesse,
In locating the zeros there's been little success.

In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number do lay on the line,
His theorem, however, won't rule out the case,
There might be a zero at some other place.

Oh, where are the zeroes of zeta of s ?
We must know exactly, we cannot just guess.
In order to strengthen the prime number theorem,
The integral's contour must never go near 'em.

Let P be the function p minus Li,
The order of P is not known for x high,
If square root of x times log x we could show,
Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,
Concerning the Lindelöf function mu sigma.
Which measures the growth in the critical strip,
On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,
Convexity tells us it can have no waves,
Lindelöf said that the shape of its graph,
Is constant when sigma is more than one-half.

There's a moral to draw from this sad tale of woe,
Which every young genius among you should know:
If you tackle a problem and seem to get stuck,
Use the Riemann Mapping Theorem and you'll have better luck.

Letture...

Tre libri, letti negli ultimi mesi, giacciono da un po' sulla mia scrivania in attesa di trovare posto su qualche scaffale.

• Vito Volterra, di Angelo Guerraggio e Giovanni Paoloni, è una biografia del celebre matematico anconetano, che ne mette in rilievo i contributi sia matematici (in particolare all'analisi funzionale e alle applicazioni nel campo biologico, di cui è uno dei pionieri) che politiche (fondazione del CNR, opposizione al regime fascista, che lo emarginò a causa delle origini ebraiche). Da leggere, anche per immergersi in uno dei periodi storici più interessanti e fecondi per la matematica (ma anche per rendersi conto, semmai ce ne fosse bisogno, degli effetti nefasti dei regimi totalitari sulla ricerca scientifica).
  
• Unknown Quantity, di John Derbyshire, è un'interessante e coinvolgente storia dell'algebra, dalle tavolette scritte in caratteri cuneiformi in epoca mesopotamica alla geometria algebrica di Grotendieck e Atiyah, passando per alcune tappe obbligate (tipo Diofanto, al-Khwarizmi, Fibonacci, Cardano & co., Viète, Descartes, Newton, Ruffini, Abel, Galois, Hamilton, Grassmann, Cayley, Hilbert, Emmy Noether, per citarne solo alcune). I "Math Primers" che inframmezzano il testo dovrebbero permettere anche al non-matematico di seguire  il discorso con cognizione di causa (o quasi).
  
• Everything and More: A compact History of Infinity, del compianto David Foster Wallace (l'autore di Infinite Jest) è una dotta digressione attraverso la storia dei tentativi operati dalla matematica per venire a patti con il concetto di infinito, dal periodo ellenico fino al ventesimo secolo. Il libro, scritto con uno stile del tutto personale, affronta il problema dell'infinito dal punto di vista storico, filosofico e matematico, approfondendo quanto basta i dettagli tecnici (ad un livello forse proibitivo per il lettore occasionale), soffermandosi in particolare sui contributi di Georg Cantor. Una lettura impegnativa ma senz'altro appagante.

Frazioni continue e calendari

Gli ultimi tre post mi hanno ricordato un paper letto anni fa, attorno al quale avevo costruito alcune lezioni nell'ambito di un corso opzionale denominato "Applicazioni della Matematica". Si tratta di Modern calendar and continued fractions, di Yury Grabovsky, professore associato alla Temple University, un interessante studio del calendario gregoriano effettuato con l'aiuto delle frazioni continue.

L'antefatto è abbastanza noto: nel 1582 papa Gregorio XIII impose nei paesi cattolici l'adozione di una versione rivista del cosiddetto calendario giuliano (in vigore dal 46 a.C.), che diminuiva da 100 a 97 il numero di anni bisestili in quattro secoli (rendendo "comuni" gli anni multipli di 100 ma non di 400). Ciò ridusse la durata media dell'anno da 365,25 a 365,2425 giorni, avvicinandola al valore effettivo di 365,24219878. Tra l'altro, l'adozione in tempi diversi del "nuovo" calendario è all'origine dell'apparente coincidenza tra le date di morte di William Shakespeare e Miguel de Cervantes (23 aprile 1616; il 23 aprile è la data scelta dall'UNESCO per la Giornata mondiale del libro).

Seguendo Grabovsky, esaminiamo ora il "problema del calendario" con l'aiuto delle frazioni continue. Supponiamo innanzitutto di voler approssimare la durata dell'anno solare inserendo $b$ anni bisestili nel corso di $c$ secoli: la durata media dell'anno solare sarà pari, in giorni, a $$ \frac{365 \cdot 100c+b}{100c}=365+\frac{b}{100c}\; ; $$ di conseguenza dovrà valere $$ 365+\frac{b}{100c} \cong 365,24219878 $$ e quindi $$ \frac{b}{c} \cong 24, 219878 \; . $$ Il problema si riduce quindi alla ricerca di un'approssimazione (razionale) accurata del numero  24,219878. Le frazioni continue si rivelano particolarmente adatte allo scopo: se vale $$ \alpha= a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\ldots}}}= \underbrace{[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]}_{\text{notazione}} $$ allora, rappresentando con $$ \frac{h_n}{k_n}=[a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]=  a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}} $$ il cosiddetto $n$-esimo convergente si ha $$ \lim_{n\to\infty}\frac{h_n}{k_n}=\alpha $$ (in altre parole: la successione dei convergenti rappresenta approssimazioni sempre più accurate del numero $\alpha$) e se $\frac{a}{b}$ rappresenta una frazione ridotta ai minimi termini vale $$ \left| \alpha -\frac{a}{b} \right| < \left| \alpha -  \frac{h_n}{k_n} \right| \quad\Longrightarrow\quad b > k_n $$ (in altre parole: l'$n$-esimo convergente è più vicino ad $\alpha$ di qualsiasi frazione con denominatore minore di $k_n$, vale a dire che l'approssimazione $\frac{h_n}{k_n}$ è ottimale). Con $\alpha=24, 219878$ si ottiene (con una tecnica ispirata dall'algoritmo euclideo per la divisione) $$ 24, 219878 = 24+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\ldots}}}}= [24;4,1,1,4,\ldots] $$ e quindi i convergenti $$ \frac{h_1}{k_1}=24+\frac{1}{4}=\frac{97}{4} \;,\;  \frac{h_2}{k_2}=24+\frac{1}{4+\frac{1}{1}}=\frac{121}{5} \;,\;   \frac{h_3}{k_3}=\frac{993}{41} \; , \ldots $$ Il primo dei convergenti rappresenta proprio il calendario gregoriano: un ciclo di 4 secoli con 97 anni bisestili. Curiosamente, al team di esperti messi in campo da papa Gregorio era sfuggito (forse a causa dell'imprecisione dei dati astronomici) un semplice modo per rendere ancora più preciso il calendario: un ciclo di 5 secoli con 121 anni bisestili, realizzabile ad esempio eliminando dal calendario giuliano gli anni bisestili multipli di 100 ma non di 500.