venerdì 23 aprile 2010

QED #2 - Senza parole

A volte, l'idea centrale della dimostrazione di un teorema può essere trasmessa efficacemente per mezzo di un disegno. È lo scopo che si prefissa Proofs without words di Roger B. Nelsen, che di parole ne contiene ben poche. Il libro contiene una serie di illustrazioni in grande formato che invitano alla riflessione nei campi classici della matematica liceale. Alcune sono ben note (ad esempio quelle relative ad alcune somme numeriche) e convincenti, altre sono (almeno per me) nuove e sorprendenti, anche se in qualche caso l'assenza di commenti ne rende ardua la comprensione. Comunque l'opera ha il pregio di rendere plausibili anche risultati che di primo acchito potrebbero sembrare tutt'altro che chiari. Un esempio: per illustrare la relazione 
("la somma dei primi n cubi è pari al quadrato della somma dei primi n numeri naturali") l'autore ci presenta qualcosa del genere (questa è una mia rielaborazione):
(una volta uno al quadrato più due volte due al quadrato più tre volte tre al quadrato più quattro volte quattro al quadrato e così via...).
Sull'argomento dimostrazioni senza parole Nelsen ha recentemente pubblicato un articolo sullo European Journal of Pure and Applied Matematics, disponibile sul sito della rivista cliccando qui.

giovedì 22 aprile 2010

QED #1 - Il Libro

Solitamente, in un'opera di matematica i risultati più notevoli vengono espressi sotto forma di Teoremi. E ad ogni teorema corrisponde un'accurata dimostrazione. Attraverso le dimostrazioni è quindi possibile percorrere la via che dagli assiomi (le "verità fondamentali", punto di partenza di ogni teoria matematica) conduce fino ai risultati più spettacolari ed inattesi.
Didatticamente, questo modo di procedere può però risultare un po' ingannevole: l'allievo distratto o il lettore occasionale potrebbero ricavare l'impressione che in matematica vi sia sempre una "via maestra" che conduce invariabilmente al risultato voluto. Le dimostrazioni, con la loro eleganza formale, non rendono conto del cammino reale effettuato, che è spesso tortuoso e irto di ostacoli inattesi. Il lavoro del matematico è senz'altro più "sporco" di quanto mostrino le opere finite: solitamente, solo in un secondo tempo (e magari da altri autori) un percorso di ricerca viene condensato in modo sintetico ed elegante.
Già, elegante. Col tempo, il matematico sviluppa un vero e proprio senso estetico per le dimostrazioni. Paul Erdös, di cui ho parlato nei due post precedenti, asseriva che Dio (il "Sommo Fascista", nella sua terminologia) possiede un libro in cui sono riportate le dimostrazioni più belle. Aggiungeva, inoltre, che il matematico non è tenuto a credere in Dio, ma nel libro sì.
Negli ultimi anni della sua vita, su suggerimento di Martin Aigner e Günter Ziegler, Erdös si mise addirittura all'opera per compilare un'approssimazione del "Libro". Purtroppo non riuscì a completare il lavoro, ma il volume fu comunque terminato dai suoi due collaboratori e uscì nel 1998 con il titolo di Proofs from THE BOOK. Il risultato è un vero e proprio "scrigno del tesoro" (forse un po' parziale nei contenuti, che riflettono gli interessi di Erdös), che presenta un gran numero di dimostrazioni affascinanti, spaziando dalla teoria dei numeri alla geometria, per poi passare all'analisi e all'ambito combinatorio. Il primo capitolo si apre (era quasi obbligatorio) con la celebre dimostrazione di Euclide del fatto che i numeri primi sono infiniti (altre cinque dimostrazioni, più recenti, sono incluse), e nei capitoli successivi troviamo altri Classici, come il Postulato di Bertrand, l'irrazionalità di pi greco, la Formula di Eulero per i grafi planari, il metodo della diagonale di Cantor nonché numerose applicazioni del principio dei cassetti e di quello del doppio conteggio.
Essendo un'approssimazione del Libro, l'opera di Aigner e Ziegler è una sorta di work in progress: noto che nelle successive revisioni alcune dimostrazioni contenute nella prima edizione (che ho acquistato anni fa) sono state tolte ed altre sono state aggiunte (l'operazione mi sembra un po' discutibile, ed invita quasi a procurarsi il libro, peraltro costosetto, con metodi un po' "grigi"). In italiano è disponibile la terza edizione, a cura del "matematico di Alinghi" Alfio Quarteroni.

lunedì 12 aprile 2010

My mind is open - 2

Sulla vita di Paul Erdös il regista G.P. Csicsery ha realizzato nel 1993 il documentario N is a number. Su YouTube esso è visionabile per intero (almeno fino a quando non lo toglieranno...). Eccone la prima parte:

Il seguito è visibile qui: parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6, parte 7, parte 8, parte 9.

domenica 11 aprile 2010

My mind is open

Paul Erdös (1913-1966) è stato sicuramente un Protagonista della matematica del '900. Geniale ed eccentrico, lavorò soprattutto nell'ambito della matematica discreta, dando un impulso fondamentale ai campi della combinatoria estrema e della teoria di Ramsey (che si occupano dello studio dell'estensione minima di un insieme i cui elementi devono esibire una determinata proprietà).
Più che per le sue ricerche matematiche, Erdös è però noto fra i non specialisti per il suo singolare stile di vita: tutto ciò che lui possedeva trovava posto in una sola valigia, con la quale si spostava incessantemente da un istituto di ricerca all'altro, ospitato da colleghi ai quali in cambio metteva a disposizione il suo talento e le sue geniali intuizioni ("my mind is open" era, pare, la frase con la quale si presentava alla loro porta). In effetti, per Erdös il "fare matematica" era un'attività prevalentemente sociale: la maggior parte dei 1475 "papers" da lui prodotti (che fanno di lui il secondo matematico più prolifico di sempre dopo Leonhard Euler) furono scritti in collaborazione. Ciò ha originato, nel folklore matematico, il concetto di "numero di Erdös": a un determinato autore viene assegnato il numero 1 se ha collaborato direttamente con Erdös su un articolo, ai collaboratori dei collaboratori viene assegnato il numero 2, e così via (in termini matematici, si tratta della distanza da Erdös sul grafo delle collaborazioni). L'Università di Oakland ha dedicato un interessante sito all'argomento, dal quale risulta che un "numero di Erdös" basso è spesso associato a ricercatori di grande importanza.
Singolare era pure il linguaggio con cui Erdös si esprimeva: chiamava "epsilon" i bambini, "capi" le donne e "schiavi" gli uomini, definiva "morto" un matematico che aveva smesso di far ricerca (saluti dall'aldilà, quindi), e Dio era "il Sommo Fascista" che gli teneva nascoste le dimostrazioni più belle. Per il suo epitaffio, aveva suggerito la frase "ho finalmente smesso di diventare più stupido".
La vita di Paul Erdös, con qualche approfondimento sulla sua attività matematica, è ben raccontata nel bel libro "L'uomo che amava solo i numeri" (edito in Italia da Mondadori), del giornalista statunitense Paul Hoffmann. 

venerdì 9 aprile 2010

"Tutto concorre..."

"... al bene di coloro che amano Dio". È la traduzione CEI del passaggio della Lettera ai Romani (8,28) riportato su una lapide murata accanto all'entrata del piccolo cimitero posto sotto la chiesetta di Biganzolo, nella piccola località di Selasca, raggiungibile con una breve deviazione dalla SS34 in prossimità di Verbania (ho scattato la fotografia qualche giorno fa). L'iscrizione, originariamente, era posta sopra la tomba di Bernhard Riemann, un Grande della matematica, morto a Selasca nel 1866 a causa della tubercolosi che da tempo lo affliggeva, destino condiviso da un altro Grande dell'ottocento, Niels Abel
Nella sua breve vita Riemann fornì contributi fondamentali in più campi della matematica: possiamo ricordare per l'analisi l'integrale di Riemann (noto, forse, a chi ha frequentato almeno il Liceo), per la geometria le superfici di Riemann e per la teoria dei numeri l'ipotesi di Riemann, probabilmente il più celebre problema aperto della matematica, contemplato sia nei 23 problemi di Hilbert del 1900 (è l'ottavo della lista), sia nei 7 problemi del millennio del 2000 (è il quarto). 
Un interessante contributo sulla vita di Riemann è reperibile qui, nel blog Rudi Matematici. Si tratta della versione condensata di un articolo comparso sul numero 68 della rivista omonima.

sabato 3 aprile 2010

Giornalisti e giornalai

Ci sono due ambiti nei quali le mie conoscenze potrebbero essere definite superiori alla media. Uno è abbastanza evidente, l'altro fa a sua volta capolino in questo blog. Leggo quindi con interesse qualsiasi notizia pubblicata dalla stampa su tali argomenti, restando però solitamente deluso dalla superficialità con la quale essi vengono trattati. Certo, non si tratta di temi di grande richiamo, ma ciò mi fa a volte sorgere qualche dubbio sullo spirito critico con il quale i giornalisti affrontano tematiche ben più cruciali.
Ho quindi apprezzato l'uscita in libreria di Un matematico legge i giornali, di John A. Paulos, professore all'Università di Philadelphia sempre in prima fila nella lotta contro l'ignoranza matematica e curatore della rubrica Who's Counting sul sito di ABC News (dal quale, suppongo, parte del libro è tratta). Si tratta di un'opera strutturata come un quotidiano (che si apre quindi con le notizie politiche e nazionali, prosegue con quelle locali e termina con i necrologi e lo sport), composta da una cinquantina di interventi di poche pagine ciascuno in cui l'autore mette in evidenza le incongruenze e le manipolazioni presenti un po' ovunque nella carta stampata, dall'ormai cronico abuso della statistica alla presentazione tendenziosa dei dati, dalla manipolazione dei dati all'autoreferenzialità. Si tratta senz'altro di un tentativo interessante di mettere in luce uno dei pericoli principali dell'ignoranza matematica, cioè l'impossibilità di difendersi da notizie tendenziose e fallaci, che però, a mio avviso, raggiunge solo parzialmente il suo scopo. L'estrema brevità della maggior parte degli interventi non permette infatti all'autore di inquadrare a dovere i problemi e di discuterli in modo esaustivo, e quindi rischia di non lasciare alcuna impressione sul lettore occasionale (per il quale il libro è pensato). Peccato. Un'occasione parzialmente sprecata.
Tra l'altro, la sovracopertina (sul retro, in fondo) riporta quanto segue: "Attenzione! Questo oggetto attrae ogni altro oggetto nell'universo con una forza uguale al prodotto delle loro masse diviso per la radice quadrata della loro distanza. Maneggiare con cura!" - si tratta di una provocazione, o nessuno ha controllato il lavoro del traduttore?