$$f_n=\frac{\phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}}$$
che permette, a partire da
$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cong1.618\quad\text{e}\quad\rho=-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cong-0.618$$
di produrre la successione di Fibonacci
$$(f_n)_{n\ge 0}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots) \quad.$$
La formula di Binet rappresenta quindi una funzione
$$f\,:\, \mathbb N\cup\{0\} \, \to \, \mathbb N \quad,$$
estendibile senza problemi anche agli interi negativi: utilizzando gli esponenti negativi $-1,-2,-3,\ldots$ essa produce la successione
$$(f_{n})_{n< 0}=(1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,\ldots) \quad.$$
che continua a soddisfare la relazione
$$f_{n-1}+f_n=f_{n+1} \quad.$$
dove $\rm{Ln}$ rappresenta il valore principale del logaritmo, dato da
$${\rm{Ln}}(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\quad,\quad\text{con}\; \;\varphi\in]-\pi,\pi] \;.$$
dove
$${\rm{Ln}}(\rho) =\ln(-\rho)+i\pi\cong -0.48+3.14i \quad.$$
Ma si potrebbe andare oltre, come propongono Merve Özvatan e Oktay Pashaev dell'Izmir Institute of Technology nel saggio Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves, considerando più in generale esponenti reali. Di primo acchito la cosa potrebbe sembrare insensata, dal momento che $\rho$ è negativo, ma nulla impedisce di far ricorso ai numeri complessi: in $\mathbb C$ una potenza viene definita da
$$z^t=e^{t{\rm{Ln}}(z)} \quad,$$dove $\rm{Ln}$ rappresenta il valore principale del logaritmo, dato da
$${\rm{Ln}}(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\quad,\quad\text{con}\; \;\varphi\in]-\pi,\pi] \;.$$
Ciò permette di considerare la formula di Binet come la parametrizzazione di una curva nel piano complesso; con $t\in\mathbb R$ si definisce
$$f(t)=\frac{\phi^t-\rho^t}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^t-e^{t{\rm{Ln}}(\rho)}}{\sqrt{5}}$$dove
$${\rm{Ln}}(\rho) =\ln(-\rho)+i\pi\cong -0.48+3.14i \quad.$$
Rappresentiamo la curva per $t\ge0$ nel piano di Gauss: essa oscilla attorno all'asse reale, intersecandolo in corrispondenza dei numeri di Fibonacci; il curioso "ricciolo" rappresenta il doppio $1$ all'inizio della successione:
Più interessante ancora è quello che succede quando $t<0$: in questo caso, la formula di Binet parametrizza una spirale, la spirale di Fibonacci-Binet. Dal momento che $f_{n+1} \cong \phi \cdot f_n$, per $n\to\infty$ essa si approccia ad una spirale logaritmica:
