Aureo pure questo

Ho già parlato, in questo blog (qui e qui, in particolare), della formula di Binet

$$f_n=\frac{\phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}}$$

che permette, a partire da

$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cong1.618\quad\text{e}\quad\rho=-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cong-0.618$$

di produrre la successione di Fibonacci

$$(f_n)_{n\ge 0}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots) \quad.$$

La formula di Binet rappresenta quindi una funzione 

$$f\,:\, \mathbb N\cup\{0\} \, \to \, \mathbb N \quad,$$

estendibile senza problemi anche agli interi negativi: utilizzando gli esponenti negativi $-1,-2,-3,\ldots$ essa produce la successione 

$$(f_{n})_{n< 0}=(1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,\ldots) \quad.$$

che continua a soddisfare la relazione

$$f_{n-1}+f_n=f_{n+1} \quad.$$

Ma si potrebbe andare oltre, come propongono Merve Özvatan e Oktay Pashaev dell'Izmir Institute of Technology nel saggio Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves, considerando più in generale esponenti reali. Di primo acchito la cosa potrebbe sembrare insensata, dal momento che $\rho$ è negativo, ma nulla impedisce di far ricorso ai numeri complessi: in $\mathbb C$ una potenza viene definita da

$$z^t=e^{t{\rm{Ln}}(z)} \quad,$$
dove $\rm{Ln}$ rappresenta il valore principale del logaritmo, dato da
$${\rm{Ln}}(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\quad,\quad\text{con}\; \;\varphi\in]-\pi,\pi] \;.$$

Ciò permette di considerare la formula di Binet come la parametrizzazione di una curva nel piano complesso; con $t\in\mathbb R$ si definisce

$$f(t)=\frac{\phi^t-\rho^t}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^t-e^{t{\rm{Ln}}(\rho)}}{\sqrt{5}}$$
dove
$${\rm{Ln}}(\rho) =\ln(-\rho)+i\pi\cong -0.48+3.14i \quad.$$

Rappresentiamo la curva per $t\ge0$ nel piano di Gauss: essa oscilla attorno all'asse reale, intersecandolo in corrispondenza dei numeri di Fibonacci; il curioso "ricciolo" rappresenta il doppio $1$ all'inizio della successione:

Più interessante ancora è quello che succede quando $t<0$: in questo caso, la formula di Binet parametrizza una spirale, la spirale di Fibonacci-Binet. Dal momento che $f_{n+1} \cong \phi \cdot f_n$, per $n\to\infty$ essa si approccia ad una spirale logaritmica:

Un albero aureo

Tra gli esercizi sulle serie geometriche che propongo agli allievi del corso di III scientifica ce n'è uno carino che coinvolge la sezione aurea in relazione ad un albero binario. Non del tutto inaspettatamente anche qui il rapporto $\phi$ produce il risultato esteticamente più appagante.

Aurea pure questa

Ancora su YouTube, tempo fa mi ero imbattuto in una curiosa equazione, apparentemente complicata dal fatto che somme ed espressioni esponenziali non si stanno particolarmente simpatiche. Si trattava di

$$4^x+6^x=9^x \quad.$$

In realtà, la scelta delle tre basi 4, 6 e 9 la rende trattabile senza problemi, trasformandola in un esercizietto da II liceo. Ho ritrovato il foglietto su cui avevo abbozzato la soluzione:

Di nuovo, fa la sua comparsa la costante $\phi$. Wow.

Tra l'altro, più in generale, lo stesso "fenomeno" si produce per ogni equazione della forma

$$a^x+b^x=c^x \quad,$$ se $b$ è la media geometrica $\sqrt{ab}$ di $a$ e $b$.