Somme non trascendenti

Confesso che non avevo mai notato che, in base 10,
$$\log 5 + \log 2 = 1 \quad.$$

Me ne sono accorto, in modo assolutamente fortuito, leggendo una scheda di esercizi di un collega (grazie Paolo!), e inizialmente non avevo nemmeno capito perché tale relazione mi avesse colpito. Ora lo so: è un esempio, non artificiale, di una somma di numeri trascendenti con risultato algebrico (solitamente si portano esempi, come $\pi$ e $1-\pi$, che puzzano un po' di imbroglio...).

La trascendenza dei logaritmi è una questione tutt'altro che banale; essa segue, ad esempio, da un risultato clamoroso della teoria dei numeri della prima metà del novecento, il Teorema di Gelfond-Schneider: se $a$ e $b$ sono numeri algebrici, con $a\not\in\{0,1\}$ e $b\not\in\mathbb Q$, allora $a^b$ è trascendente. Infatti, supponendo ad esempio che $\log 2$ sia algebrico, da $10^{\log 2}=2$ si ricava immediatamente una contraddizione (l'irrazionalità di $\log 2$ può facilmente essere dimostrata per contraddizione, con un uso interessante del teorema fondamentale dell'aritmetica).

La musica è finita?

Vi sarà già capitato: ascoltate un brano, magari appena uscito, e improvvisamente un passaggio vi suona familiare. L'ultima volta mi è successo con il brano sanremese di Arisa, il cui ritornello non può non richiamare un celebre brano gucciniano. Ma la storia della musica è costellata da omaggi, richiami o veri e propri plagi, dall'ubiquità del Canone, all'uso consepevole del Rondò di Muzio Clementi, fino ai veri e propri plagi perpetrati da Ray Parker Jr. ai danni di Huey Lewis o dall'Innominabile (dopo il documentario HBO) ai danni della ex coppia d'oro. D'altronde, già una quarantina di anni fa Frank Zappa affermava che All the good music has already been written by people with wigs and stuff. 

A pensarci bene, le note sono soltanto sette (o, meglio 12), e quindi potrebbe sembrare plausibile che prima o poi le melodie si esauriranno. Si tratta, in fondo, di un problema combinatorio, ed è quindi inevitabile che qualche matematico un po' mattacchione ci abbia già pensato.

Nel video che segue il celebre youtuber Michael Stevens, il creatore di Vsauce, si sofferma proprio su tale questione. Dapprima illustra qualche calcolo sul numero dei possibili brani digitalizzati (concludendo che non li esauriremo mai), poi cita alcuni lavori che hanno studiato il problema su brani di lunghezza limitata (come questo), e anche in questo caso il conteggio propone numeri astronomici. Ma la parte più interessante del video è, secondo me, quella sull'uso del common metre (8/6/8/6) in musica, che ci permette ad esempio di cantare Amazing Grace sulle note di House of the rising sun, e che inevitabilmente ci farà provare una sorta di déja-entendu ogniqualvolta sentiremo un brano con una scansione simile. 

Pitagora mod 5

L'altra mattina, mentre mi annoiavo sorvegliando una prova scritta, sfogliavo distrattamente una copia degli Elementi d'aritmetica di Giovanni Novi, reperita per caso due settimane fa su una bancarella della fiera del libro usato di Piazza Diaz. Un esercizio al termine del capitolo dedicato ai quadrati e alle relative radici ha attirato la mia attenzione (facendomi probabilmente perdere il controllo sulle attività illecite degli studenti, non sarebbe la prima volta...).

Cioè: ogni terna pitagorica contiene almeno un multiplo di 5 (in realtà vale anche per 4 e per 3, ma l'affermazione sembra meno spettacolare). Confesso che non ci avevo mai fatto caso, ma una rapida occhiata ad un elenco di terne (ad esempio qui) sembra rendere plausibile questo fatto.

Con l'aiuto dell'aritmentica modulare non è difficile dimostrare l'affermazione: essenzialmente, dal momento che i resti della divisione per 5 dei quadrati perfetti sono soltanto 0, 1 e 4, modulo 5 le terne pitagoriche (a,b,c) possono essere soltanto quattro: quelle corrispondenti alla somma dei quadrati  0+0=0 (terne non primitive), a 0+1=1 (come (20,21,29)), a 0+4=4 (come (5,12,13)) e a 1+4=0 (come (4,3,5)). In tutti questi casi, quindi, uno dei membri della terna risulta divisibile per 5, dal momento che i divisori primi di un numero e del suo quadrato sono gli stessi.

In rete le informazioni su Giovanni Novi sono piuttosto scarse, anche perché la prematura scomparsa gli impedì di mettere a frutto tutto il suo talento matematico (si spense a soli quarant'anni, poco dopo aver assunto la cattedra di Algebra all'università di Pisa). Qualche notizia biografica è contenuta in questo lavoro, dedicato alla corrispondenza tra Novi e il più noto Enrico Betti, suo predecessore a Pisa. 

When I Heard the Learn'd Astronomer

di Walt Whitman (1819-1892)
da Leaves of Grass

When I heard the learn’d astronomer,
When the proofs, the figures, were ranged in columns before me,
When I was shown the charts and diagrams, to add, divide,
    and measure them,
When I sitting heard the astronomer where he lectured
    with much applause in the lecture-room,
How soon unaccountable I became tired and sick,
Till rising and gliding out I wander’d off by myself,
In the mystical moist night-air, and from time to time,
Look’d up in perfect silence at the stars.

Ho da poco terminato Breaking Bad...