Fibonacci à Strasbourg

Domenica sera, tornando al parcheggio situato sotto il Musée d'Art moderne et contemporain di Strasburgo, ancora intento a digerire una copiosa choucroute, non ho potuto fare a meno di notare la sequenza di numerini situata quasi a livello del tetto (sono le lucine bluastre che si intravedono nella fotografia). Manco a dirlo, si tratta dell'ennesima realizzazione sul tema Fibonacci ad opera di Mario Merz. Battezzata La Nouvelle Suite de Fibonacci, l'opera era stata concepita inizialmente per abbellire la linea del tram A, ed è stata in seguito ricollocata dove si trova ora (e ricolorata, da rossa a blu).

Ma l'opera di Merz non rappresenta l'unica relazione tra il capoluogo alsaziano e il matematico pisano. Si deve infatti a due ricercatori dell'Università di Strasburgo (Yann Bugeaud e Maurice Mignotte), assieme ad un collega dell'Università di Warwick (Samir Siksek), la dimostrazione del fatto che le potenze perfette contenute nella successione di Fibonacci sono soltanto quattro, e cioè 0, 1, 8 e 144. La scoperta di per sé non è particolarmente rivoluzionaria, dato che il risultato era già noto per piccoli esponenti: ad esempio, come spiega Mignotte nell'articolo Sur les carrés dans certaines suites de Fibonacci (scaricabile qui), è possibile mostrare con metodi elementari che gli unici quadrati nella successione in questione sono 0, 1 e 144. Di notevole interesse è però la strategia impiegata dai tre per affrontare il problema, un mix tra tecniche divenute ormai classiche nell'ambito delle equazioni diofantee (come l'uso delle forme lineari nei logaritmi, valso ad Alan Baker la medaglia Fields nel 1970) e gli strumenti estremamente moderni e sofisticati introdotti da Andrew Wiles nella dimostrazione del Teorema di Fermat. Il saggio in questione, intitolato Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations I. Fibonacci and Lucas perfect powers, è scaricabile qui, direttamente dal sito della prestigiosa rivista che l'ha ospitato, Annals of Mathematics (il seguito è uscito poco dopo su Compositio Mathematica). Sfogliandolo, ho provato un pizzico di nostalgia (condito da un leggero retrogusto di angoscia) per gli anni in cui mi occupavo, più o meno, di cose simili (a stretto contatto con il co-autore del primo lavoro citato in fondo all'articolo).

Storie di numeri - 2

Uscito nel 2015, Professor Stewart's Incredible Numbers (in italiano: Numeri incredibili) rappresenta una vera e propria abbuffata di numeri, da zero a $\mathfrak c$. L'autore, Ian Stewart, è forse il più noto divulgatore contemporaneo della matematica, e in questo libro dà nuovamente sfogo alla sua enciclopedica cultura. 

La prima parte del volume, Numeri piccoli, è dedicata ai numeri naturali da $1$ a $10$, e ci permette di scoprire, ad esempio, che $1$ un tempo era primo e ora non lo è più, che il kissing number nel piano è pari a $6$, che per colorare una mappa su un toro occorrono $7$ colori e che $8$ è una delle 4 potenze perfette comprese tra i numeri di Fibonacci (fatto che riprenderò nel prossimo post). Si passa poi agli interi (zero e $-1$, in particolare), all'unità immaginaria $i$, ad alcuni razionali (come il celebre $\frac{22}{7}$) e, finalmente, agli irrazionali, tra cui troviamo, oltre ai consueti $\sqrt{2}$, $e$ e $\pi$, anche la costante $\gamma$ di Eulero-Mascheroni, la costante di Apéry $\zeta(3)$, e pure $\sqrt[12]{2}$, che permette un'interessante digressione sul rapporto tra musica e matematica. Incontriamo poi altri numeri naturali, piccoli e grandi, tra cui l'$11$ della teoria delle stringhe, il $23$ del paradosso dei compleanni e il $43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$ del cubo di Rubik. Si decolla poi verso l'infinito, con $\aleph_0$ e il già citato $\mathfrak c$, la cardinalità del continuo. Il finale ha un tono più scherzoso, e ci mostra che anche un numero apparentemente insignificante come il $42$, ironicamente individuato da Douglas Adams come "la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'Universo e tutto quanto" non è poi così banale come sembra. 
Decisamente uno fra i più interessanti libri di divulgazione che mi sia capitato di leggere. Consigliatissimo.