Uno più due più tre più ecc. - Parte IV

Ecco una versione estesa del video di Numberphile da cui tutto ha avuto inizio. Tra l'altro, in esso si fa menzione del fatto che la "magica somma" 1+2+3+... ha qualcosa a che fare con le 26 dimensioni della versione originale della teoria delle stringhe.

Uno più due più tre più ecc. - Parte III

Sembra che la prodigiosa relazione

$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;,
$$

contenuta negli appunti di Srinivasa Ramanujan inviati ad alcuni eminenti matematici inglesi nel 1913, da un lato lo allontanò dalla maggior parte di essi, che lo bollarono come un semplice crank, ma dall'altro suscitò l'interesse di Hardy, che invitò a Cambridge il "matematico indiano" dando vita ad una delle più singolari e proficue collaborazioni della storia della disciplina. Hardy seppe leggere al di là della lacunosa notazione di Ramanujan (la cui istruzione formale era alquanto limitata) per riconoscere nell'espressione il calcolo di $\zeta(-1)$, e quindi lo stadio embrionale di quella che oggi viene chiamata $\zeta$-regolarizzazione ("zeta-regolarizzazione"), un altro artificio, più potente di quello ideato da Ernesto Cesàro, per attribuire un valore sensato ad alcune serie divergenti.

Essenzialmente, ad una serie 

$$
A=a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$

si associa la serie di Dirichlet

$$
\zeta_A(s)=\frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s}+\frac{1}{a_3^s}+\ldots
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{s}}
$$

la quale, solitamente, definisce una funzione olomorfa solo in un semipiano del piano complesso, della forma $Re(s)>x_0$, ma può essere prolungata analiticamente quasi ovunque in $\mathbb C$, fatta eccezione per un polo da qualche parte. Si pone allora

$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \zeta_A(-1)
$$

(dove con $\zeta_A$ si intende il suo prolungamento): abusando un po' della notazione (come d'altronde fece l'ingenuo Ramanujan) avremmo

$$
\zeta_A(-1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{-1}}= \sum_{n=1}^{\infty}a_n
= a_1+a_2+a_3+\ldots
$$

Questo procedimento associa alla somma

$$
1+2+3+4+5+\ldots
$$

la più nota tra le serie di Dirichlet, ossia la funzione zeta per antonomasia,

$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=
\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots \;,
$$

la quale, come mostrò Bernhard Riemann, possiede un prolungamento analitico sul piano complesso fatta eccezione per un polo di primo ordine per $s=1$. Tale prolungamento soddisfa (vedi qui, a pag. 91) l'equazione funzionale

$$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$

che, curiosamente, mette in relazione il calcolo di Ramanujan con uno dei più famosi problemi del XVII/XVIII secolo, il problema di Basilea, posto da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da un certo Leonhard Euler nel 1735: ponendo $s=-1$ nell'equazione funzionale, si ottiene

$$
\zeta(-1)=\frac{1}{2\pi^2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\Gamma(2)\zeta(2) \;;
$$

noto che vale $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ e che $\Gamma(2)=1!=1$ (la funzione gamma, studiata fra gli altri da Euler e Gauss, rappresenta un'interpolazione del fattoriale: $\Gamma(n)=(n-1)!$ per $n=1,2,3,\ldots$), per il fattore rimanente osserviamo che vale

$$
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+
\ldots=\frac{\pi^2}{6}
$$

(questa è la soluzione del problema posto da Mengoli); vale quindi

$$
\zeta(-2)=-\frac{1}{2\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12} \;;
$$

in altre parole, il metodo della $\zeta$-regolarizzazione fornisce proprio la relazione

$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;.
$$

Siedler

Forse a causa del centesimo episodio di BBT (che ho visto di recente), o forse perché i miei figli iniziano ad avere l'età per giocarci, negli ultimi tempi si è risvegliato il mio interesse per I Coloni di Catan (Die Siedler von Catan), il geniale german-style board game inventato nel 1995 dall'odontotecnico tedesco Klaus Teuber (che, nel frattempo, ha trasformato l'isoletta di Catan in un vero impero multimediale). Si tratta di un gioco da tavola dalle regole piuttosto semplici, in cui tre o quattro giocatori competono per la supremazia territoriale su un'isola investendo e commerciando in modo oculato le risorse naturali, la cui disponibilità è determinata dalla posizione degli insediamenti e dal caso. Il fascino del gioco risiede da un lato nella sua accessibilità (un "principiante" può essere immediatamente coinvolto), dall'altro, e soprattutto, nell'infinita possibilità di sviluppare strategie anche molto sofisticate. Inoltre, e ciò non guasta mai, una partita non si prolunga quasi mai per ore e ore.

Ovviamente, ma questo vale per ogni gioco da tavolo, Coloni possiede aspetti matematici tutt'altro che trascurabili. Tralasciando quelli, interessantissimi, legati alla teoria dei giochi, varrebbe la pena di menzionare almeno  quelli più elementari legati al calcolo delle probabilità, dal momento che da un lato gli esagoni che compongono l'area di gioco possono essere ricombinati casualmente a ogni partita, e dall'altro la redditività dei territori dipende dalla somma dei punti nel lancio di due dadi. Le probabilità di tali somme possono essere facilmente calcolate (espresse in 36esimi, esse sono pari rispettivamente a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per gli esiti da 2 a 12), e sono tra l'altro evidenziate sui gettoni che contrassegnano i territori (anch'essi vengono disposti casualmente). Interessante la soluzione adottata nella versione inglese, che indica con dei "pallini" le rispettive probabilità; come viene spiegato qui, il valore di un insediamento può essere determinato sommando i "pallini" dei territori adiacenti.

Vista la popolarità di Catan, in rete non mancano le possibilità di approfondimento; ad esempio, un'analisi (a occhio e croce non particolarmente approfondita, però) del gioco può essere consultata qui.