Beutelspacher... live

Albrecht Beutelspacher, l'autore del libro di cui ho parlato giusto ieri, è molto noto in Germania anche per le sue apparizioni televisive (dove, al contrario di qualcun altro, si limita a parlare della sua disciplina). In particolare, ha presentato sul canale educativo bavarese BR-alpha la trasmissione Mathematik zum Anfassen, composta da 28 brevi episodi di carattere divulgativo. Eccone un esempio, dedicato alla bellezza in ambito matematico:

F.A.Q. (ancora stuzzichini)

Dopo Le meraviglie della matematica e Matematica da tasca il "divulgatore entusiasta e instancabile" Albrecht Beutelspacher ripropone la formula degli "stuzzichini" con Matematica: tutto quello che avreste voluto sapere, anch'esso pubblicato in edizione italiana da Ponte alle Grazie. Stavolta la forma è quella delle Frequently Asked Questions: i 101 brevissimi capitoli del libro sono proposti come domanda/risposta. Le domande spaziano da Cos'è la matematica? a Perché la matematica è così astratta?, da Che cos'è un googol? a Quanto varrebbe oggi un euro depositato in banca ai tempi di Cristo?, da La matematica è una scienza bellica? a Perché i matematici non sanno fare i calcoli?, da Perché meno per meno fa più? a È possibile dimostrare l'esistenza di Dio?. Le risposte, magari a volte un po' sbrigative e ridondanti ma mai banali, sono redatte nel consueto ed efficace stile beutelspacheriano, tra il finto-ingenuo e l'ironico, sempre in bilico tra il rigoroso e l'informale. Mi permetto di citare per esteso soltanto due perle: la prima, che conclude la risposta a I matematici necessitano di intuito e fantasia? è la frase con cui David Hilbert liquidò un ex assistente divenuto poeta: "tanto, per la matematica non aveva abbastanza fantasia". La seconda è un "buon" problema, proposto al Bundeswettbewerb Mathematik nel 2008: "Con dei fiammiferi di uguale lunghezza, Fritz ha formato i lati di un parallelogramma, nelle cui diagonali trovano posto esattamente 7 e 9 fiammiferi. Di quanti fiammiferi si compone il perimetro del parallelogramma?"

Tertium non datur

Nella logica tradizionale, una proposizione o è vera, o è falsa. Questa affermazione, degna di Jacques de la Palice, ha in realtà un gran numero di conseguenze tutt'altro che banali in ambito matematico, specialmente per quanto riguarda le cosiddette dimostrazioni di esistenza. Giusto ieri, sfogliando distrattamente l'imponente Princeton Companion to Mathematics (ne parlerò ancora), mi sono imbattuto in un notevole esempio di questo fatto nell'ambito della teoria dei numeri: il problema della "produzione" di numeri razionali a partire da numeri irrazionali. Mi spiego meglio: è facile trovare  due numeri irrazionali $a$ e $b$ la cui somma sia razionale (si pensi, banalmente, all'esempio $a=\sqrt{2}$, $b=-\sqrt{2}$) oppure tali che il loro prodotto sia razionale (ad esempio $a=b=\sqrt{2}$). Ma è tutt'altro che semplice esibirne due tali che la potenza $a^b$ lo sia: in effetti, studiare l'irrazionalità di una potenza è cosa tutt'altro che semplice. Ma non è difficile dimostrare l'esistenza dei numeri $a$ e $b$. Consideriamo a tal proposito il numero $\sqrt{2}^\sqrt{2}$: se esso fosse razionale, allora il problema sarebbe risolto ponendo
$$
(a,b) = \left( \sqrt{2},\sqrt{2} \right)
$$
(l'irrazionalità della radice di due era già nota ai pitagorici, e viene comunemente dimostrata già al liceo). Se, per contro, $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ fosse irrazionale, dal momento che
$$
\left(\sqrt{2}^\sqrt{2} \right)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt2 \cdot \sqrt 2}=\sqrt2^2=2
$$
basterebbe porre $$ (a,b) = \left( \sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt2 \right) \quad.
$$
Geniale, no?

In realtà, è la seconda versione ad essere corretta: $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ è irrazionale (addirittura trascendente) in virtù del teorema di Gelfond-Schneider, la cui dimostrazione diede, nel 1934, una risposta affermativa al settimo problema di Hilbert.

Formulaire -> Formulario

Un po' di pubblicità. È in libreria, ormai da qualche settimana, Formulari e tavole, traduzione italiana (a cura della Commissione di matematica della svizzera italiana) del Formulaires et tables delle Commissioni romande di matematica, fisica e chimica. Tagliata su misura per il programma dei licei elvetici, l'opera mette a disposizione degli studenti italofoni uno strumento già usato e apprezzato da decenni dalle nostre parti. L'indice è consultabile qui.

La spirale sbagliata

La scorsa settimana mi sono recato a Basilea, città ricchissima di arte, cultura e tradizioni. Tra un museo e l'altro (Beyeler e Tinguely, consigliatissimi), ho visitato l'imponente Vecchia Cattedrale (il Münster, oggi chiesa protestante), all'esterno della quale, non lontano da una terrazza con una spettacolare vista sull'ansa del Reno, si trova la lapide dedicata a Jakob Bernoulli. Jakob (1654-1704), fratello di Johann e zio di Daniel, fu il primo matematico di una famiglia che in pochi decenni ne avrebbe annoverati ben otto, monopolizzando per un secolo la prestigiosa cattedra basilese. È noto per essere l'autore dell'Ars Conjectandi (pubblicato postumo), di importanza fondamentale in ambito probabilistico, per i suoi studi sul numero e (sua è la "definizione", spesso sfruttata in ambito didattico, basata sull'interesse composto a capitalizzazione istantanea) e per la sua passione per la spirale logaritmica, che volle far scolpire sulla sua pietra tombale. Il motto che la accompagna, eadem mutata resurgo ("risorgo uguale eppure diversa") fa riferimento forse all'ubiquità di tale curva in natura, o forse piuttosto alle proprietà di auto-similarità della spira mirabilis. Proprietà che, purtroppo, non si evincono dalla spirale scolpita sulla lapide: difatti, l'ignoto autore del monumento, invece di una spirale logaritmica (dove i raggi crescono in progressione geometrica) scolpì una banale spirale archimedea (dove la progressione dei raggi è aritmetica).