Non è brutto ciò che è brutto...

A quanto pare, è la ripetitività a rendere gradevole un brano musicale (basti pensare al Canone di Pachelbel o alla V Sinfonia di Beethoven...). Scott Rickard, nel suo intervento TED intitolato The world's ugliest music, cerca di dimostrarcelo componendo un pezzo dove, nella melodia e nel ritmo, le ripetizioni sono bandite. Non, intendiamoci, utilizzando il caso (come nella musica aleatoria), ma progettando a tavolino l'irregolarità per mezzo di strumenti matematici. E quindi mettendo in campo, paradossalmente, un bel po' di bella matematica per comporre una musica volutamente brutta.
Le componenti chiave per produrre tale brano sono due: le note vengono scelte con l'aiuto di una matrice di Costas 88x88 (come gli 88 tasti del pianoforte), una particolare matrice di permutazione corrispondente ad un insieme di punti su una griglia aventi distanze tutte differenti tra loro. E il tempo viene scelto sulla base di un regolo di Golomb, l'analogo unidimensionale delle matrici di Costas.

Il risultato è davvero brutto (anche se un orecchio poco allenato, come il mio, faticherà a distinguere la musica di Rickard da quella dei più arditi compositori contemporanei...).

Storie di numeri - 2.5

Per accompagnare il libro di Ian Stewart di cui ho brevemente parlato qualche settimana fa è disponibile (qui, a pagamento) l'app per iPad Incredible Numbers by Professor Ian Stewart, una sorta di piccolo laboratorio interattivo che, oltre a presentare in forma succinta le proprietà di una scelta di costanti matematiche, permette di esplorare alcuni ambiti cari al divulgatore inglese (numeri primi, Pi greco, codici segreti, infiniti, ...), il tutto condito da una piccola selezione di rompicapi a sfondo matematico. Ho trovato particolarmente efficace la sezione dedicata al rapporto tra matematica e musica (un mio chiodo fisso, ultimamente), in cui alle ottime descrizioni si affiancano parecchi esperimenti convincenti.

Consigliata (anche perché, come le maggior parte delle app, non costa poi molto...).

Mathematics

Here be numbers transcendental,
on an imaginary axis spun,
decimal places without limit
and zero and one.

Mathematics,
simply pure beyond belief.

e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi is minus one
e to the power of i times pi is minus one

A single function, exponential,
just one addition must be done...
multiplication in completion
of zero, of one.

Mathematics,
just so "wow" it brooks belief.

(You'd better believe, you'd better believe it.)

Non hanno certamente sbagliato i Van der Graaf Generator, leggendario gruppo prog rock britannico, ad intitolare Mathematics un brano dedicato all'identità di Eulero, mirabile sintesi di analisi, algebra e geometria.  Il pezzo è contenuto nell'album A Grounding in Numbers, uscito il 14 marzo (e non è certo un caso) del 2011.

E se qualcuno volesse ascoltare ancora un po' di prog rock, qui ho raccolto qualche proposta.

... e Escher sotto la Madunina

Approfittando di una rara giornata di tregua, prima di un'abbondante cena a base di risotto al salto e foiolo in una tipica Trattoria Milanese, ho finalmente trovato il tempo per una visita alla mostra di Palazzo Reale dedicata a Maurits Cornelis Escher, sicuramente uno tra i più riconoscibili e influenti artisti del XX secolo. La mostra, come illustra anche il bel catalogo, ripercorre in modo abbastanza esaustivo la carriera del maestro, anche mettendo in luce alcuni aspetti forse meno noti della sua produzione (come le opere dedicate all'Italia e gli ex libris). Peccato che proprio il catalogo presenti, forse, qualche refuso di troppo (come gli {\sc i} nelle didascalie del contributo di Odifreddi, segno di una frettolosa conversione da LaTeX).

È arcinoto che spesso l'arte di Escher ha tratto ispirazione dalla matematica (come testimonia, tra l'altro, il monumentale Gödel, Escher, Bach di Douglas Hofstaedter); alcune tra le sue opere più memorabili rappresentano l'espressione di una comprensione nel contempo istintiva e profonda della geometria, euclidea e non. Ad esempio:

- le tassellazioni; Escher fu un maestro nell'impiegare con originalità i 17 modi in cui il piano può essere riempito con figure tra loro isometriche, popolandolo con le immagini più disparate (rettili, pesci, oggetti, ippogrifi,...). E ad ispirarlo fu, assieme ad una visita all'Alhambra, il saggio Ueber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene, pubblicato da George Pólya nel 1924 sullo Zeitschrift für Kristallographie (l'originale è disponibile qui, ma a pagamento; qui, invece, è disponibile gratuitamente una traduzione in inglese). In particolare, più degli aspetti formali della questione, a colpire Escher fu l'illustrazione dei 17 tipi di simmetria del piano contenuta nell'articolo di Pólya;

- il nastro di Möbius, esempio standard di superficie non orientabile che in Möbius strip II Escher fa percorrere da una processione chiusa di formiche; è grazie alla proprietà di avere una sola faccia che la superficie può essere percorsa all'infinito per intera;

- la Galleria di stampe, che Escher lasciò volutamente incompleta. Per "tappare" il buco al centro dell'opera rispettando l'effetto Droste voluto dall'autore, i matematici olandesi Bart de Smit e Hendrik Lenstra (quest'ultimo è celebre per il suo algoritmo di fattorizzazione) hanno fatto ricorso a strumenti algebro/geometrici decisamente raffinati, riproducendo essenzialmente il disegno su una curva ellittica definita nel campo complesso (come spiegano qui, in italiano, e all'interno del sito Escher and the Droste effect).