$$
1+2+3+4+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.
$$
Ovviamente essa non si concilia con la tradizionale interpretazione
di "somma infinita" come limite della successione delle somme parziali,
ove si definisce
$$a_1+a_2+a_3+\ldots = \sum_{i=1}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}s_n
$$
con
$$
s_n = \sum_{i=1}^{n}a_i \quad.
$$
Esistono però altri modi di assegnare valori finiti a somme infinite,
che generalizzano quello tradizionale, sacrificando la nozione di
convergenza ma preservandone, entro certi limiti, la linearità (essenzialmente, $\sum(a_i+b_i)=\sum a_i + \sum b_i$ e $\sum(\lambda a_i)=\lambda\sum a_i$). Il più
semplice è la Somma di Cesàro, dove al posto del limite delle
somme parziali si calcola il limite delle medie di queste ultime:
riciclando la notazione utilizzata sopra, si pone
$${\sum_{i=1}^{\infty}a_i} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}s_i \quad.
$$
L'esempio più sfruttato in questo ambito riguarda la Serie di Grandi
$$
1-1+1-1+1-1\pm\ldots \quad,
$$
che nella definizione tradizionale risulta divergente indeterminata (le
somme parziali assumono alternativamente i valori 1 e 0), ma la cui somma
di Cesàro ha valore $\frac12$: com'è facilmente
verificabile, le medie delle somme parziali sono pari a
$$1\,,\,\frac12\,,\,\frac23\,,\,\frac24\,,\,\frac35\,,\,\frac36 \,,\,\frac47\,,\,\frac48\,\ldots
$$
Tra l'altro, si otterrebbe il medesimo risultato anche calcolando tale
somma come serie geometrica di ragione pari a $-1$.
Tale risultato, come mostra il video di Numberphile, può essere utilizzato
per dare un senso a
$$s_1=1-2+3-4+5-\ldots \qquad:
$$
calcolando
$$
2s = s+s = (1-2+3-4+5-\ldots) + (0+1-2+3-4+\ldots) \\
= 1-1+1-1+ \ldots = \frac12
$$
si ricava
$$
2s=\frac12 \qquad s= \frac14 \quad,
$$
cioè
$$
1-2+3-4+5-\ldots = \frac14
$$
(Ramanujan, nei suoi appunti, impiega un altro approccio, utilizzando
formalmente lo sviluppo della funzione $\frac{1}{(1+x)^2}$ con $x=1$).
Da qui, se
$$s'=1+2+3+4+5+\ldots
$$
"possiamo" scrivere
$$
s'-s = 1+2+3+4+5+\ldots -(1-2+3-4+\ldots) \\
= 0+4+0+8+0+12+ \ldots = 4s'
$$
e quindi
$$
s'-s=s'-\frac14=4s' \quad,\quad 3s'=-\frac14 \quad,\quad s'=-\frac1{12} \quad,
$$
cioè
$$
1+2+3+4+5+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.
$$
Sfortunatamente, però, $1+2+3+\ldots$ non è nemmeno Cesàro-sommabile...
