Uno più due più tre più ecc. - Parte II

Torniamo alla sorprendente somma
$$1+2+3+4+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.$$

Ovviamente essa non si concilia con la tradizionale interpretazione di "somma infinita" come limite della successione delle somme parziali, ove si definisce

$$a_1+a_2+a_3+\ldots = \sum_{i=1}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}s_n$$
con
$$s_n = \sum_{i=1}^{n}a_i \quad.$$

Esistono però altri modi di assegnare valori finiti a somme infinite, che generalizzano quello tradizionale, sacrificando la nozione di convergenza ma preservandone, entro certi limiti, la linearità (essenzialmente, $\sum(a_i+b_i)=\sum a_i + \sum b_i$ e $\sum(\lambda a_i)=\lambda\sum a_i$). Il più semplice è la Somma di Cesàro, dove al posto del limite delle somme parziali si calcola il limite delle medie di queste ultime: riciclando la notazione utilizzata sopra, si pone

$${\sum_{i=1}^{\infty}a_i} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}s_i \quad.$$
L'esempio più sfruttato in questo ambito riguarda la Serie di Grandi
$$1-1+1-1+1-1\pm\ldots \quad,$$

che nella definizione tradizionale risulta divergente indeterminata (le somme parziali assumono alternativamente i valori 1 e 0), ma la cui somma di Cesàro ha valore $\frac12$: com'è facilmente verificabile, le medie delle somme parziali sono pari a

$$1\,,\,\frac12\,,\,\frac23\,,\,\frac24\,,\,\frac35\,,\,\frac36 \,,\,\frac47\,,\,\frac48\,\ldots$$

Tra l'altro, si otterrebbe il medesimo risultato anche calcolando tale somma come serie geometrica di ragione pari a $-1$. Tale risultato, come mostra il video di Numberphile, può essere utilizzato per dare un senso a

$$s_1=1-2+3-4+5-\ldots \qquad:$$
calcolando
$$2s = s+s = (1-2+3-4+5-\ldots) + (0+1-2+3-4+\ldots) \\ = 1-1+1-1+ \ldots = \frac12$$
si ricava
$$2s=\frac12 \qquad s= \frac14 \quad,$$
cioè
$$1-2+3-4+5-\ldots = \frac14$$

(Ramanujan, nei suoi appunti, impiega un altro approccio, utilizzando formalmente lo sviluppo della funzione $\frac{1}{(1+x)^2}$ con $x=1$). Da qui, se

$$s'=1+2+3+4+5+\ldots$$
"possiamo" scrivere
$$s'-s = 1+2+3+4+5+\ldots -(1-2+3-4+\ldots) \\ = 0+4+0+8+0+12+ \ldots = 4s'$$
e quindi
$$s'-s=s'-\frac14=4s' \quad,\quad 3s'=-\frac14 \quad,\quad s'=-\frac1{12} \quad,$$
cioè
$$1+2+3+4+5+\ldots=-\frac{1}{12} \quad.$$
Sfortunatamente, però, $1+2+3+\ldots$ non è nemmeno Cesàro-sommabile...