Ancora a proposito del problema di cui ho parlato ieri: appurato che non è possibile disegnare un triangolo equilatero con l'aiuto dei quadretti del foglio, quali sono le approssimazioni più accurate ottenibili? Una (banale) ricerca esaustiva, effettuata con MAPLE a partire dai punti A(0,0) e B(x,y) con x e y tra 0 e 20, ha fornito come migliore approssimazione i vertici B(11,11) e C(-4,15). Ovviamente, un intervallo più generoso per le coordinate di B avrebbe prodotto risultati migliori. Ma esiste una soluzione più elegante, che non faccia uso della "forza bruta"? Sembra un problema di approssimazione razionale. Potrebbero venirci in aiuto le frazioni continue?
lunedì 30 gennaio 2012
domenica 29 gennaio 2012
Un bell'esercizio
Tra gli infiniti esercizi che regolarmente appioppiamo ai nostri allievi, quanti potrebbero essere definiti veramente appassionanti (per lo meno agli occhi del matematico...)? Non certo i cosiddetti drills ("risolvi la seguente equazione", "calcola il limite", "deriva", "integra",...), ma nemmeno la maggior parte dei problemi geometrici, per lo più ricalcati su modelli preconfezionati. Un esercizio risulta appassionante quando esprime una "bella" matematica, cioè quando risulta appagante per il nostro (perverso) senso dell'estetica. E qui entra in gioco una forte componente soggettiva: per taluni, la matematica è bella quando un problema apparentemente complicato viene spazzato via da una geniale intuizione (la "verblüffende Einfachheit" descritta da Beutelspacher nel video che ho postato qui). Altri, invece, adorano quei problemi apparentemente semplici e comprensibili a chiunque la cui soluzione richiede però impegnative escursioni in ambiti inattesi della matematica. Io, forse, appartengo a quest'ultima (patologica) categoria, ed è per questo motivo che, a suo tempo, scelsi di dirigermi verso la teoria dei numeri. Un tipico esempio è un quesito che pongo regolarmente ai miei allievi: "mostra che è impossibile disegnare un triangolo equilatero su un foglio quadrettato" (in modo tale che i vertici appartengano agli incroci dei quadretti). O, in un linguaggio più matematico, "mostra che non esiste, nel piano cartesiano, un triangolo equilatero con tutti i vertici a coordinate intere. L'affermazione (nella prima versione, per lo meno) può essere compresa da chiunque, ma la dimostrazione (basata su due espressioni differenti dell'area del triangolo) fa uso di nozioni tutt'altro che banali (il determinante e, soprattutto, l'irrazionalità della radice di 3).
Ho tratto l'esercizio da 101 Mathematikaufgaben (purtroppo disponibile soltanto in lingua tedesca), del mio vecchio professore di didattica Peter Gallin, di cui ricordo con piacere le lezioni all'Università di Zurigo, condotte con uno stile sobrio e pragmatico, ben lontano dagli eccessi psicopedagogici che oggi vanno tanto di moda. Il testo, che non mancherò di cannibalizzare ulteriormente, contiene una collezione di quesiti posti come problema del mese alla Kantonsschule (denominazione svizzero-tedesca di Liceo) in cui Gallin ha insegnato per decenni in parallelo alla sua attività universitaria.
domenica 8 gennaio 2012
Bad@$$ F#ck!n' Fractal
L'insieme di Mandelbrot, l'inquietante struttura autosimile studiata negli anni '80 dal compianto Benoît Mandelbrot (1924-2010), rappresenta probabilmente il mio primo contatto con la matematica "vera": ricordo le ore di attesa per vederlo apparire sulla TV in bianco e nero che faceva da monitor al mio Commodore 64, sul quale avevo programmato un rudimentale algoritmo di visualizzazione con il famigerato Simons' Basic.
Alcuni mesi fa mi sono imbattuto in un simpatico omaggio a Mandelbrot e alla sua matematica, realizzato da tale Pisut Wissesing nell'ambito di un Workshop alla Cornell University:
L'autore delle musiche è Jonathan Coulton, cantautore indipendente e un po' geek che fa principalmente affidamento sulla rete per la diffusione e la vendita dei suoi lavori, concedendone gratuitamente l'utilizzo quali colonne sonore per video autoprodotti. Su YouTube se ne trovano in abbondanza; oltre a quello citato, ho trovato simpatici The Presidents (una lezione lampo di storia americana) e Ikea.
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