martedì 21 ottobre 2014

#2^3*5^2

A bütt e scarpüsc, come si dice dalle mie parti, questo piccolo blog raggiunge oggi il traguardo delle duecento uscite. D'accordo, ci sono voluti più di sette anni, ma in quel fatidico venerdì di fine agosto 2007 non avrei mai pensato che l'avventura sarebbe durata così a lungo. E, malgrado i miei impegni famigliari, scolastici, parascolastici e metascolastici, non ho affatto l'intenzione di fermarmi. Nelle prossime settimane vorrei parlare, almeno un po', di un celebre problema numerico e di alcune singolari attinenze matematico/biologiche. Troverò il tempo di farlo? Boh. Intanto festeggiamo (almeno virtualmente...).

lunedì 20 ottobre 2014

Matemagica? Nooo...

Vediamo un po'... Evariste Galois, immediatamente prima del fatidico duello, viene invitato ad unirsi ad una sorta di Justice League in salsa matematica, le "Stelle erranti", formata nientepopodimeno che da Ipazia di Alessandria, Brahmagupta, Alan Turing, Al-Khwaritzmi, Maria Gaetana Agnesi e Georg Cantor, dediti alla risoluzione di problemi ben più grandi di quelli di cui si occupavano all'interno dello "spazio lineare". Nella loro prima avventura...
Bah, lasciamo perdere. Tanto mi sarei guardato bene dal consigliare la lettura di Mathemagick, fumetto in due parti pubblicato tra il 2006 e il 2007 da un oscuro editore statunitense, reperibile per pochi spiccioli su Comixology. Cercate del buon fumetto con addentellati matematici? Rivolgetevi altrove, per esempio a Logicomix o Gottinga. Cercate del buon fumetto e basta? Leggetevi Unastoria o Watchmen.
Curiosamente, ma comprensibilmente, in rete non si trova praticamente traccia di Mathemagick. Anche una semplice ricerca in google fornisce tutt'altro; tralasciando la "k", la parola chiave "mathemagics" fornisce ad esempio questo interessante tributo di un grande matematico a due grandi matematici, dedicato alla memoria di un altro grande matemago del XX secolo.

domenica 19 ottobre 2014

Zetaquadrato più c - II

Inquietante. Psichedelico. Lovecraftiano. Sono molti gli aggettivi che mi vengono in mente pensando all'insieme di Mandelbrot. In rete si trova un'infinità di risorse per esplorarlo, ad esempio filmati che rendono evidente la sua (quasi) autosimilarità. Eccone uno, direttamente da YouTube: 


Altri esempi sono questo, questo (con la colonna sonora "a tema" di Jonathan Coulton) oppure questo (con una colonna sonora "spaziale"). 
Innumerevoli sono pure le app che permettono di esplorare l'insieme di Mandelbrot, ad esempio Fractile plus, veloce e gratuita.

domenica 5 ottobre 2014

Zetaquadrato più c

L'autobiografia di Benoît Mandelbrot mi ha riportato alla mente (ne ho già parlato qui) il mio primissimo contatto con la matematica contemporanea, avvenuto grazie al bizzarro insieme che porta il nome del geniale ricercatore franco/polacco. Narra la leggenda che questa vera e propria icona della matematica di fine '900, sputata fuori in una forma rudimentale da una stampante dell'IBM, fu notata quasi per caso da Mandelbrot. 

In realtà, Mandelbrot fu effettivamente tra i primi a menzionarla (qui), ma i primi a farne un oggetto di studio, delineandone alcune proprietà essenziali, furono Adrien Douady e John Hubbard (vedi qui), due autorità nel campo dei sistemi dinamici. Furono proprio questi ultimi ad attribuirle il nome con cui essa è oggi universalmente conosciuta. La frattalità del suo bordo fu invece dimostrata da Mitsuhiro Shishikura nel 1994 (in un paper apparso dugli Annals, disponibile qui come preprint).
L'insieme $M$ di Mandelbrot rappresenta probabilmente l'esempio più noto e spettacolare di come sia possibile generare forme estremamente complesse a partire da regole semplici: si tratta dell'insieme dei parametri complessi $c$ per cui l'orbita di $z=0$ rispetto all'iterazione ottenuta dalla funzione polinomiale
$$
z \longmapsto z^2+c
$$
è limitata; in altre parole, si tratta dell'insieme dei numeri complessi $c\in\mathbb C$ tali che l'insieme
$$
\{c,c^2+c,(c^2+c)^2+c,((c^2+c)^2+c)^2+c,\ldots\}
$$
è limitato da una costante; per un risultato abbastanza noto, tale costante può essere scelta uguale a 2. Ciò permette di disegnare l'insieme "plottando" i punti del piano complesso il cui modulo dopo un certo numero di iterazioni non ha ancora raggiunto tale valore; si tratta proprio di quello che facevamo a metà degli anni '80 sottoponendo il Commodore 64 a dei veri e propri tour de force (vedi anche qui), ispirati da un articolo di Alexander Dewdney apparso su "Le Scienze" nell'ottobre 1985 (eccolo; questa invece è la versione originale).
Misurando l'allontanamento dell'orbita di un punto all'esterno dell'insieme di Mandelbrot (cioè la distanza raggiunta dopo un tot di iterazioni), e colorando in modo diverso i punti corrispondenti è possibile realizzare immagini davvero spettacolari e suggestive; eccone una, che da un po' funge da sfondo sul PC del mio ufficio: