Maths à Paris

Da una settimana, oramai, siamo rientrati da una stupenda vacanza parigina. E nella Ville Lumière, tra musei, monumenti, concerti e musical (con una puntatina a Marne-la-Vallée, d'obbligo vista l'insistenza dei miei figli...) non poco mi ha parlato di matematica, tra le strade del Quartier Latin, al Panthéon, o tra i viottoli del Père-Lachaise...

Tra l'altro, in un chiosco, ho acquistato l'interessante pubblicazione Réviser son bac avec Le Monde - Mathématiques, interessante iniziativa editoriale del serale parigino destinata ad un ripasso in vista della maturità, corredato da una scelta di interessanti interventi di matematici di primo piano, come Etienne Ghys o Cédric Villani.

Fractal zoom

Non è difficile immaginarsi la prima traccia dell'album Nerve Net, prodotto da Brian Eno nel 1992, come sottofondo di una carrellata attraverso i meandri dell'insieme di Mandelbrot...

A dire il vero, ho scoperto la musica del poliedrico musicista inglese solo un paio d'anni fa, nel corso di una visita alla Reggia di Venaria Reale, per la quale Eno ha composto la musica che risuona nell'imponente Galleria Grande (rielaborata, tra l'altro, nell'album Lux, che spesso mi fa da sottofondo mentre lavoro).

Cubitis magikia

... ossia: "un grave disturbo mentale, accompagnato da prurito ai polpastrelli, cui è possibile dare sollievo solo tramite il contatto prolungato con un cubo multicolore originario dell'Ungheria e del Giappone. I sintomi persistono spesso per mesi. Altamente contagioso."

Così si apre Magic Cubology, uno tra i più noti Metamagical Themas di Douglas Hofstadter, apparso su Scientific American nel marzo 1981 (e disponibile nell'omonima raccolta), dedicato all'aggeggio che, fin dagli anni '80, è noto ai più come cubo magico (o Cubo di Rubik, dal nome del suo inventore ufficiale, l'architetto ungherese Ernö Rubik). Vera e propria icona degli anni '80, le sue proprietà combinatorie non potevano passare inosservate all'interno della comunità dei matematici: in particolare, non sono pochi i testi di introduzione alla teoria dei gruppi che a fini didattici fanno efficacemente uso del suo gruppo di trasformazioni (vedi ad esempio qui, qui e qui). Si tratta un sottogruppo del gruppo di permutazioni $S_{48}$ generato da sei particolari trasformazioni (corrispondenti alla rotazione di una delle facce), isomorfo a

$$
\left( \mathbb Z_3^7 \times \mathbb Z_2^{11} \right)
\rtimes \left( \left( A_8 \times A_{12} \right) \rtimes \mathbb Z_2 \right)
$$

(dove $\mathbb Z_p= \mathbb Z / p\mathbb Z$, $A_n$ è il gruppo alterno  e $\rtimes$ rappresenta il prodotto semidiretto), per un totale di

$$
3^7 \cdot 2^{11} \cdot \frac{8!}{2} \cdot \frac{12!}{2} \cdot 2
= 43\,252\,003\,274\,489\,866\,000 \cong 4,3 \cdot 10^{19}
$$

possibili trasformazioni. Ma la cosa sorprendente è che il cubo può essere risolto a partire da qualsiasi configurazione iniziale in meno di 20 mosse, per lo meno applicando un cosiddetto algoritmo divino (dove si suppone cioè che il risolutore sia onnisciente, ed esegua quindi ad ogni passo la mossa ideale).

Devo ammettere che da adolescente prestai ben poco interesse al Cubo: me ne ragalarono uno, ma non andai mai oltre la faccia "con i laterali". Mio figlio, recentemente, si è dimostrato ben più perseverante di me: studiandosi su YouTube gli algoritmi necessari, nel giro di un paio di giorni ha imparato a completare in qualche minuto il rompicapo. Ecco documentata tutta la sua soddisfazione dopo il suo primo tentativo riuscito: