Semplice come l'abc

La Congettura abc, formulata negli anni '80 da David Masser dell'Università di Basilea e da Joseph Oesterlé dell'Università di Parigi-Jussieu, rappresenta probabilmente il più importante problema irrisolto nell'ambito dell'analisi diofantea. Ispirata da un analogo risultato valido per i polinomi (il teorema di Mason), essa può essere enunciata come segue: sia $\varepsilon>0$; allora esiste una costante $k(\varepsilon)$ tale che, se $a$, $b$ e $c$ sono tre interi positivi coprimi con

$$a+b=c \quad$$ vale

$$c \le k(\varepsilon) \prod_{p | abc} p^{1+\varepsilon} \quad,$$

dove il prodotto viene effettuato su tutti i fattori primi di $a$, $b$ e $c$.  Una formulazione equivalente è la seguente: per $\varepsilon>0$ la disuguaglianza

$$ c >  \prod_{p | abc} p^{1+\varepsilon}$$ è vera solo per un numero finito di terne di numeri naturali $(a,b,c)$ con $a+b=c$ e $MCD(a,b,c)=1$. Citando Richard K. Guy in Unsolved Problems in Number Theory, "se fra tre numeri vi è una relazione additiva, allora i rispettivi fattori primi non possono essere tutti troppo piccoli". Da notare, come mostrato qui da Fritz Beukers, che $\varepsilon$ non può essere scelto uguale a zero: è quindi l'incremento, anche ridottissimo ("piccolo a piacere", come ogni $\varepsilon$ che si rispetti) dell'esponente a ridurre il numero di "eccezioni" da infinito a finito.

Si tratta ovviamente di un enunciato piuttosto criptico per i non-iniziati (e anche per gli appena-un-po' iniziati come me), interessante perché mette in relazione la struttura additiva e la struttura moltiplicativa di $\mathbb N$. La sua significatività è attestata dal fatto che abc rappresenta una sorta di generalizzazione di alcuni tra i risultati più spettacolari della teoria dei numeri del '900, come spiegano Andrew Granville e Thomas Tucker qui: il Teorema di Roth sulle approssimazioni razionali (Medaglia Fields 1958), il Teorema di Bombieri sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche (Medaglia Fields 1970), il Teorema di Baker sulle forme lineari nei logaritmi (Medaglia Fields 1974), il Teorema di Faltings (cioè la Congettura di Mordell, Medaglia Fields 1986), il Teorema di Wiles (cioè la Congettura di Fermat; purtroppo a Wiles la Medaglia sfuggì per raggiunti limiti d'età, ma nel 1998 gli venne comunque attribuito un premio speciale).

La recente notizia della possibile dimostrazione della Congettura abc, data tra l'altro da Nature e dal New York Times, mi ha riportato alla memoria una sessione di esami di quasi vent'anni fa, per la quale dovetti studiarmi congettura, annessi e connessi. Ricordo la notte prima dell'esame di Curve ellittiche I e II, praticamente insonne, e le occhiaie da paura con cui mi presentai la mattina al politecnico (la prima domanda dell'esaminatore fu "haben Sie nicht geschlafen?"). Fortunatamente poi tutto andò per il verso giusto, il Professore in questione mi assunse come assistente e dottorando di ricerca e la teoria dei numeri divenne, per un po', il mio pane quotidiano (anche se le mie "ricerche" mi condussero piuttosto lontano da abc).
L'autore della (per ora) presunta dimostrazione della Congettura abc è il matematico giapponese Shinichi Mochizuki, allievo di Gerd Faltings e professore all'Università di Kyoto. Al momento non è chiaro quanto tempo ci vorrà per verificare la correttezza del suo lavoro, un tour de force titanico, distribuito su quattro densissimi articoli per un totale di circa 500 pagine (eccoli qui : I parte, II parte, III parte, IV parte). Il titolo scelto per i quattro lavori, Teoria di Teichmüller inter-universale, fa già supporre che ci si trovi di fronte ad una matematica "nuova", il cui unico esperto, al momento, potrebbe essere Mochizuki stesso (al profano, in effetti, i quattro lavori potrebbero sembrare non troppo diversi dai nonsensi di cui ho parlato qui). Ma il pedigree accademico del quarantatreenne geometra inter-universale (che, come Wiles, è fuori tempo massimo per aggiudicarsi la Medaglia Fields) può senz'altro indurre ad un certo ottimismo.