mercoledì 1 gennaio 2025

Buon 45^2

Ai miei allievi di prima chiedo talvolta di spiegare perché, per calcolare il quadrato di un numero che termina con la cifra 5, è sufficiente scrivere 25 in coda al prodotto del numero ottenuto togliendo l'ultima cifra con il suo successivo; essenzialmente, si tratta soltanto dell'identità $$(10a+5)^2=100a(a+1)+25\quad.$$

Dal momento che $4\cdot5=20$, concludiamo che $2025$ è il quadrato di $45$.

Un pretesto come un altro per augurare ai tre lettori (occasionali) di questo piccolo blog un felice anno nuovo.

lunedì 30 dicembre 2024

Legnetti

Tra gli assenti illustri nella timeline compilata da Crispian Jago figura, fra molti altri, John Napier di Merchiston (a.k.a Nepero, 1550-1617). Di quest'ultimo avevo già parlato qui, anni fa, in occasione di un viaggio in Scozia, nella mia vita precedente. Il matematico scozzese è noto innanzitutto per essere uno dei "padri" del logaritmo, ma fra le sue trovate sono abbastanza celebri i cosiddetti "bastoncini di Nepero" (Napier's Bones, descritti nel trattato Rabdology), che permettono di eseguire in modo abbastanza agevole la cosidetta "moltiplicazione araba", una variante della "moltiplicazione in colonna" che probabilmente abbiamo appreso tutti nella scuola primaria.

È abbastanza semplice capire come funziona l'invenzione di Napier: ogni bastoncino contiene, separate da un tratto diagonale, le cifre dei multipli di un numero da zero a nove; la disposizione, diagonale appunto, permette di sommare le cifre tenendo conto del valore posizionale (senza dimenticare i riporti); ad esempio, per eseguire la moltiplicazione $$7\,248\,543 \cdot 7$$ procediamo così (in verde sono indicati i riporti, in rosso le cifre del risultato), utilizzando (v. sopra) i legnetti relativi alle cifre 7, 2 , 4, 8, 5, 4 e 3:

otteniamo correttamente $$7\,248\,543 \cdot 7=19\,260\,192 \quad.$$

Per moltiplicare numeri più grandi, i legnetti possono servire più che altro da appoggio; non potendo scambiare le righe, occorre trascrivere il procedimento a parte. In questo caso, si ritorna essenzialmente alla "moltiplicazione araba". Ad esempio, per calcolare $$317\cdot654=207\,318$$ si procede così, sempre sommando sulle diagonali, e tenendo conto dei riporti:


La versione dei "bastoncini" fotografata sopra è quella commercializzata dalla BAJ Games, che produce il Mathematicus, interessante board game di cui certamente parlerò prima o poi.

sabato 28 dicembre 2024

A proposito...

 ... di métro scientifici, sul sito del blogger cornish Crispian Jago (personaggio interessante, scettico, sfortunato ma incredibilmente resiliente) mi sono imbattuto in questa rappresentazione schematica degli scienziati dal '600 ad oggi, realizzata nello stile della tube map londinese:

(l'originale, anche interattivo, è qui). La "linea blu" rappresenta matematici e, in misura minore, informatici. Carino, anche se se forse, almeno per quanto riguarda la matematica, qualche fermata in più ci starebbe.

giovedì 26 dicembre 2024

A Parigi...

 ... ci sono stato di nuovo un paio di mesi fa. Ne ho approfittato per fare un salto alla Maison Poincaré, piccolo museo dedicato alla matematica situato all'interno dell'Institut Poincaré, a due passi dal Panthéon. Ispirato un po' al MoMath (ma con mezzi finanziari evidentemente più limitati), si segnala per un approccio fortemente interattivo, adatto al grande pubblico e certamente stimolante per i più giovani. Al piano inferiore al momento è possibile esplorare l'esposizione temporanea Comme par hasard, dedicata ai fenomeni aleatori e alla loro modellizzazione.

Ho trovato simpatico, all'interno del museo, il métro mathématique, una rappresentazione "topologica" dei campi della matematica e delle loro relazioni come mappa di una metropolitana.



martedì 8 ottobre 2024

Settantasette

No, non si tratta del settantasettesimo post (è il 382esimo). E oggi non è nemmeno il mio settantasettesimo compleanno (se mai ci arriverò, mi manca quasi un quarto di secolo). Come appresi anni fa da un brano intitolato Urna, settantasette, nella smorfia napoletana, rappresenta le gambe delle donne (o, in alternativa, il diavolo). Ed è pure il numero dell'armadietto situato al terzo piano dell'edificio in cui insegno quest'anno (il cosiddetto Palazzetto delle scienze, brutalista e bruttarello) in cui conservo per lo più le bottigliette d'acqua minerale che trangugio per rimandare almeno di un po' la prossima crisi di calcoli renali (quella del matematico messo KO da un calcolo è una battuta che ho già ampiamente sfruttato). 

Settantasette è però anche il più grande numero non strettamente egizio (o strettamente non egizio?), cioè non esprimibile come somma di numeri differenti la cui somma dei reciproci è pari a uno. Quest'affermazione, curiosa anche se forse non proprio epocale, fa da incipit al paper intitolato A Theorem on Partitions, pubblicato dal celebre matematico e jongleur Ron Graham nel 1963 (le partizioni e le frazioni egizie furono un tema ricorrente nei primi lavori di Graham, discepolo prediletto del grande Paul Erdös). Strettamente egizio lo è ad esempio il numero $11$: difatti vale $11=2+3+6$, e

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 \; .$$

Un piccolo trucco, documentato nel paper di Graham, permette di estendere la famiglia egizia: scrivendo

$$1 = \frac{1}2+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$$

concludiamo che pure $24=2+2\cdot11$ è suddito di Cleopatra; analogamente lo saranno $50=2+2 \cdot 24$, e poi $104$, $210$ e così via (notando, tra l'altro, che nessuna delle estensioni produce partizioni non strette, cioè contenenti addendi ripetuti). Ciò permette di estendere ad libitum la famiglia. Ed è con una tecnica analoga che Graham dimostra l'egizità (si scriverà così? Non credo...) di ogni numero superiore a 77, partendo da una tabella invero piuttosto corposa, che non dev'essere stato facile produrre nel 1963 (ma forse i Bell Labs, presso cui era impiegato Graham, in un'epoca in cui le grosse aziende non disdegnavano la ricerca di base in matematica, disponevano di infrastrutture all'avanguardia).

Bello, ma mi era rimasto un dubbio: cosa succede prima del 78? Settantasette è un'eccezione? E quante ce ne sono? È abbastanza facile mostrare che il primo numero strettamente egizio è 11, dal momento che le partizioni strette dei numeri piccoli sono poche. Ma tra 11 e 24 la situazione si complica già considerevolmente. Non è difficile concepire un algoritmo che passi al setaccio tutte le partizioni di un numero, ma le mie limitate competenze informatiche mi avrebbero richiesto parecchio lavoro per la sua implementazione. Però queste cose chatgpt le sa fare benissimo: gli ho quindi chiesto di programmare in Python una procedura per costruire le partizioni di un dato numero, scartare a priori quelle con cifre 1 o cifre ripetute, ed elencare quelle che soddisfano il criterio. L'ho poi copia/incollata in un compilatore online (come questo)... et voilà:

Qui c'è l'elenco completo delle partizioni fino a $n=89$; tra 11 e 24 non ce ne sono, e effettivamente 77 non ne possiede.