L'equazione di Gaber

(Grazie ad Arno per la segnalazione) Per rendere interessanti le sue opere, un autore di qualità deve poter attingere ad un ampio bagaglio culturale, che non può prescindere da qualche nozione di matematica (ne avevo accennato qui). Ciò è senz'altro il caso per il grande Giorgio Gaber, che per parlare di sentimenti ricorre nientepopodimeno che al concetto di equazione. Ascoltare per credere.

Chissà, forse in futuro la costanteassumerà il nome di costante di Gaber...

Io non sono un teorema.

Nel 1999, il settimanale statunitense Time pubblicò una serie di numeri speciali dedicati alle 100 personalità più importanti del XX secolo, con lo scopo di proclamare la "persona del secolo" (che risultò poi essere un fisico dei nome Albert). Tra i 20 "Scienziati e pensatori" scelti dalla redazione vi fu anche Kurt Gödel, il logico che, tramite i cosiddetti teoremi di incompletezza, pose fine alla speranza Hilbertiana di dimostrare che l'aritmetica è priva di contraddizioni.
Il modo in cui Gödel pervenne alle sue conclusioni rappresenta una delle vette più alte mai raggiunte dal pensiero umano: essenzialmente, egli riuscì ad "aritmeticizzare" gli enunciati della matematica assegnando ad essi una sorta di codice numerico (il processo è oggi noto come gödelizzazione) permettendo quindi all'aritmetica di parlare di sè stessa. In questo modo gli fu possibile tradurre nel linguaggio aritmetico il paradosso di Epimenide (che si può sintetizzare nell'enunciato "quello che sto dicendo è falso"), sostituendo però il concetto di verità (logicamente e filosoficamente problematico) con il concetto di dimostrabilità. Aritmeticizzò quindi l'espressione "io non sono dimostrabile" (o "io non sono un teorema"), mostrando poi che tale enunciato non può essere né provato né refutato in nessun sistema formale abbastanza potente da descrivere le proprietà dei numeri naturali.
I principali risultati di Kurt Gödel sono l'argomento del libro Tutti pazzi per Gödel (edito da Laterza) del filosofo italiano Francesco Berto, che già nel sottotitolo promette di essere una guida completa al Teorema di Incompletezza. Si tratta di un'opera notevole, dal taglio tutt'altro che divulgativo: nella prima parte ("La sinfonia gödeliana"), Berto illustra in modo abbastanza dettagliato i due "teoremi di incompletezza" nell'ambito dell'aritmetica tipografica (un sistema assiomatico semplice ma abbastanza potente da definire i numeri naturali), supponendo che il lettore possieda già una certa dimestichezza con la logica di base, mentre nella seconda ("Il mondo dopo Gödel") analizza le implicazioni e le interpretazioni (spesso prive di senso) che i risultati gödeliani hanno avuto nel dibattito filosofico, ad esempio in riferimento al realismo platonico (i risultati della matematica esistono di per sè, e vengono quindi scoperti, o vengono creati dal matematico?).
Si tratta quindi di un libro che si può rivelare molto appagante, a condizione di possedere i necessari prerequisiti e di essere disposti ad una lettura molto concentrata (la lettura superficiale di un testo di questo tipo non ha senso). Per quanto mi riguarda, confesso di averlo letto forse troppo frettolosamente, e quindi di aver potuto assaporare solo in parte le raffinatezze offerte. Mi ripropongo però di riascoltare presto la sinfonia Gödeliana, approfondendo magari anche la biografia di Kurt Gödel.

Wolfram|Alpha

Da qualche settimana è attivo Wolfram Alpha, un nuovo... non saprei come definirlo: il termine ufficiale è computational knowledge engine (motore di conoscenza computazionale?). In ogni caso, si tratta dell'ultima trovata dell'eclettico Stephen Wolfram (l'inventore di Mathematica, uno dei più popolari CAS presenti sul mercato): una sorta di motore di ricerca "intelligente", che comprende anche funzioni di calcolo avanzato (il cui scopo principale, comunque, sembra essere quello di fungere da veicolo pubblicitario proprio per Mathematica, su cui è basato). Provare per credere: è sufficiente inserire la propria richiesta (che può consistere anche in un'equazione, un integrale o semplicemente una funzione) nel campo previsto, e vedere quel che succede...

Qualche domanda interessante da porre a Wolfram Alpha (purtroppo, almeno per ora, occorre conoscere un po' d'inglese):

x^3*cos(x)
factor(x^32-1)
limit(n->infinity) Fibonacci(n+1)/Fibonacci(n)
days since august 2, 1971
Where am I?
How are you?
How old are you?
How many roads must a man walk down before you can call him a man?
What is the meaning of life?

Pitagora Superstar

(Il titolo è una citazione; un non-premio a chi la coglie).
Sembra che Pitagora di Samo (575-495 a.C.) ispiri titoli non propriamente allegri. Infatti, dopo il già menzionato Delitti Pitagorici, ecco La vendetta di Pitagora, romanzo d'esordio del matematico e giornalista freelance Arturo Sangalli edito in Italia da Ponte alle Grazie. La narrazione, un po' scontata e vagamente Browniana (non è un complimento...) ruota attorno alla ricerca di un misterioso manoscritto, attribuito a Pitagora stesso, in cui il maestro avrebbe sintetizzato il suo pensiero e dato le istruzioni necessarie a ritrovare, a secoli di distanza, colui in cui egli si sarebbe reincarnato. La trama è comunque funzionale al vero scopo del libro, che è parlare di matematica: Sangalli riesce a comunicare al lettore alcune idee e alcuni concetti per niente banali e ad illustrarli in modo piuttosto convincente (tra le altre cose, si occupa ad esempio del gioco del 15, dell'irrazionalità della radice di 2 o, nell'appendice, del numero di permutazioni senza punti fissi). Lo scopo divulgativo dell'opera è evidente anche dall'editore dell'edizione originale, la prestigiosa Princeton University Press.
Si tratta quindi di un interessante caso di "matematica di contrabbando", dove l'interesse degli aspetti matematici compensa ampiamente le piccole pecche nella narrazione.

Bella e impossibile

There's no permanent place in the world for ugly mathematics. Ossia, al mondo non c'è un posto permanente per la brutta matematica. Si tratta di una delle frasi più celebri del saggio di G. H. Hardy A mathematician's apology (pubblicato in italiano da Garzanti con il titolo Apologia di un matematico), che ho recentemente riletto con maggiore cognizione di causa dopo aver approfondito la figura del suo autore (qui e, parzialmente, qui).

Scritto nel 1940, quando Hardy si era ormai reso conto di essersi lasciato alle spalle il suo periodo produttivo, il libro rappresenta un tentativo di giustificare i motivi che possono condurre a dedicare la propria vita alla matematica. Si tratta di un'opera affascinante, nella quale il far matematica viene descritto come un processo soprattutto creativo e l'importanza della matematica viene giudicata con criteri estetici. Hardy accosta in modo affascinante arti figurative, musica e matematica: il pittore crea la bellezza accostando i colori, il musicista accostando i suoni e il matematico accostando le idee. Già, idee, e non formule, equazioni o simboli. Per Hardy, quindi, la matematica è interessante quando è bella.
Purtroppo, però, Hardy si mostra un po' troppo ottimista: anche il fruitore occasionale può facilmente cogliere la bellezza in un dipinto o in una sinfonia, ma senza aver istruito adeguatamente l'occhio (o l'orecchio) della mente ben difficilmente saprà apprezzare l'eleganza di una dimostrazione. Il libro contiene solo due esempi (celeberrimi) di "belle dimostrazioni": l'irrazionalità della radice di 2 e l'infinità dei numeri primi, guarda caso proprio quelle che, all'inizio del primo anno di Liceo, vengono somministrate agli studenti (i quali, purtroppo, non ci trovano niente di affascinante; tuttalpiù le studiano a memoria sperando di far bella figura...).
Per Hardy esiste una matematica "banale" (quella che viene studiata nei corsi scolastici e universitari) e una matematica "vera", che viene approfondita proprio perché bella. Afferma inoltre che la matematica "vera" non potrebbe mai avere applicazioni nefaste, ad esempio in ambito bellico. Qui si rivela però un cattivo profeta: oggi il suo campo di studi prediletto, la teoria dei numeri, viene sfruttata intensamente in crittologia, disciplina legata a doppio filo alle applicazioni militari.
Il libro, per lo meno nell'edizione della Cambridge University Press, è preceduto da una lunga introduzione biografica del romanziere C. P. Snow, che è stato vicino ad Hardy negli ultimi anni della sua vita e che ci permette quindi di farci un'idea precisa degllo stato d'animo in cui il matematico si trovava al momento in cui l'opera è stata redatta.