sabato 23 marzo 2019

When I Heard the Learn'd Astronomer

di Walt Whitman (1819-1892)
da Leaves of Grass

When I heard the learn’d astronomer,
When the proofs, the figures, were ranged in columns before me,
When I was shown the charts and diagrams, to add, divide,
    and measure them,
When I sitting heard the astronomer where he lectured
    with much applause in the lecture-room,
How soon unaccountable I became tired and sick,
Till rising and gliding out I wander’d off by myself,
In the mystical moist night-air, and from time to time,
Look’d up in perfect silence at the stars.

Ho da poco terminato Breaking Bad...

martedì 29 gennaio 2019

Di recente sono stato...

... all'Hangar Pirelli, a visitare la mostra degli igloo di Mario Merz, capolavori dell'arte povera in cui la successione di Fibonacci (in versione neon, come di consueto) la fa da padrone. Certo, si tratta di opere di non facile digestione, ma ne vale la pena, anche per perdersi negli enormi spazi espositivi (da vedere assolutamente, nell'hangar adiacente, i palazzi celesti di Anselm Kiefer).


domenica 27 gennaio 2019

Ho letto ancora due libri...

... di Ian Stewart. Sono Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo e I numeri uno, usciti rispettivamente nel 2012 e nel 2017. Rappresentano, come questo, differenti punti di vista sulla storia della matematica. Il primo ci presenta quelle che per l'autore sono le 17 relazioni numeriche o algebriche più rilevanti, dal Teorema di Pitagora all'Equazione di Black-Scholes, passando attraverso un paio di formule euleriane e le Equazioni di Maxwell. Il secondo, invece, ci parla di 25 grandi figure di matematici, da Archimede di Siracusa a William Thurston, senza dimenticare altri "numi" quali Euler, Galois o Gödel. Solo tre dei 25 capitoli sono dedicati a figure femminili (Ada Lovelace, Sofia Kovalevskaja e Emmy Noether), qualcuna in più si sarebbe potuta aggiungere, forse (ma, tra le prime che mi vengono in mente, di Ipazia di Alessandria si sa veramente poco, e Maria Gaetana Agnesi o Julia Robinson forse non hanno avuto dal punto di vista della matematica un ruolo paragonabile a quello delle tre citate). 
Purtroppo ho sbocconcellato i due volumi sull'arco di più mesi, e quindi non sono più in grado di darne una descrizione adeguata. Ma forse non è necessario: si tratta di opere di divulgazione di altissimo livello, di cui mi sento di consigliare senza riserve la lettura.

giovedì 27 dicembre 2018

Sua maestà la matematica

Tra un episodio e l'altro di Breaking bad, l'altra sera ho dato un'occhiata allo speciale Majesty of Music and Math, prodotto dalla rete KBME, canale televisivo del Nuovo Messico affiliato al network PBS (la televisione pubblica statunitense). Alternando ascolti di brani celebri eseguiti dall'orchestra Filarmonica di Santa Fe (città non lontana dalla Albuquerque di Walter White) con spiegazioni teoriche di livello accessibile al grande pubblico, il matematico/informatico Chris Moore illustra tutta una serie di interconnessioni tra l'universo musicale e quello matematico.

venerdì 30 novembre 2018

Didone#5 - Considerazioni finali


Può sembrare intuitivamente chiaro, ma in realtà non è così semplice mostrare che il problema isoperimetrico per un poligono piano viene risolto dall'$n$-agono regolare (suppongo che la dimostrazione si basi su considerazioni legate alla simmetrizzazione analoghe a quelle fatte da Jakob Steiner per trattare il caso generale; qualcosa si può trovare qui). Ad ogni modo, dando per assodato questo fatto, non è difficile ricavare una disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano: dato che per il perimetro $P_n$ e l'area $A_n$ dell'$n$-agono inscritto in un cerchio di raggio unitario vale
$$P_n=2n\,\sin\frac{\pi}{n} \quad,\quad A_n=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\quad,\quad\frac{P_n^2}{A_n}=4n \,\tan\frac{\pi}{n}$$
otteniamo immediatamente la disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano
$$4n \,\tan\frac{\pi}{n} \cdot A_n \le P_n^2 \quad.$$
Dedichiamo un'ultima considerazione al rapporto $\frac{P_n^2}{A_n}$: per $n=3,4,5,$ $6,7,8,9,$ $100,1000$ esso assume approssimativamente i valori
$$20.78\;,\;16\;,\;14.53\;,\;13.86\;,\;13.48\;,\;13.25\;,\;13.10\;,\;12.57\;,\;12.57$$
Il calcolo "formale" del limite, con l'ausilio della regola di Bernoulli-L'Hôpital
(e del principio di trasposizione per i limiti di funzioni) fornisce il risultato
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n^2}{A_n}=\lim_{n\to\infty}4n \,\tan\frac{\pi}{n}=\lim_{x\to+\infty}4x \,\tan\frac{\pi}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}$$
e
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{-\pi\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)}{x^2}}{-\frac{1}{4x^2}}=4\pi \quad.$$
Quindi con $n\to\infty$ riotteniamo, in questo modo, l'originale disuguaglianza isoperimetrica
$$4\pi A \le P^2 \quad.$$