1, 11, 21,1211,111221,...

... cioè: "uno", "una volta uno", "due volte uno", "una volta due una volta uno"e così via. Probabilmente un po' tutti noi insegnanti di matematica ci siamo visti sottoporre questa bizzarra sequenza di numeri (nota come look-and-say,  numero A005150 dell'OEIS) da qualche intraprendente alunno e probabilmente un po' tutti, dopo aver capito il meccanismo che la genera, l'abbiamo archiviata come una mera curiosità poco matematica. Ma non (come ho appreso leggendo The Irrationals) quel mattacchione di John Horton Conway, che nel saggio The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay prende tale successione terribilmente sul serio, associandole addirittura un enunciato che battezza con il nome altisonante di Teorema Cosmologico. Si tratta in effetti di un risultato piuttosto imprevedibile, che solo una mente non convenzionale come quella del grande matematico inglese avrebbe potuto partorire: essenzialmente, qualunque sia la scelta iniziale delle cifra (non soltanto "1", quindi, ma anche ad esempio "123", che si trasforma in "111213", "31121113" ecc.), a un certo punto (dopo meno di 30 passaggi) il procedimento "look-and-say" (che Conway chiama decadimento audioattivo) finisce per produrre immancabilmente ed esclusivamente allineamenti di sequenze "atomiche" che non interagiscono più con le sequenze vicine, classificate in 92 "elementi comuni" e due "transuranici".

Ma c'è di più: Conway si occupa anche del tasso di crescita delle sue successioni, mostrando che il limite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} $$ del rapporto tra la lunghezza di due termini consecutivi è pari ad una costante algebrica $\lambda \cong 1.303577269$ di grado 71, di cui è in grado di fornire esplicitamente il polinomio minimo:

Weird, nevvero?

L'articolo originale di Conway, piuttosto stringato, fu pubblicato inizialmente su Eureka, magazine dell'Università di Cambridge, e non è di facile reperibilità in rete (anche se da qualche parte lo si trova...). Pare che la dimostrazione originale del Teorema Cosmologico sia andata persa, ma ne esistono di più recenti, ad esempio quella annunciata qui sull'ArXiv. A questo indirizzo è inoltre visionabile una lezione sul decadimento audioattivo.
Il decadimento audioattivo non è l'unica stramberia architettata da quel geniaccio di Conway. A lui si devono anche, in ordine sparso, il gioco della vita, l'algoritmo Doomsday, il FRACTRAN e i numeri surreali. E vale certamente la pena di dare un'occhiata al Book of Numbers, da lui scritto a quattro mani con un altro celebre matematico, Richard K. Guy.

Non contateci

Fra i corsi che ho frequentato da studente al politecnico, ricordo con particolare nostalgia Elementare Zahlentheorie, condotto con passione e competenza da Peter Turnheer (corso che, con un altro nome, viene ancora offerto). Del corso apprezzai da un lato l'estrema pulizia e sinteticità (al limite dell'impersonale, forse), dall'altro soprattutto i contenuti: l'idea che dietro l'apparentemente banale concetto di numero vi sia una struttura così ricca e intrigante, e che per dimostrare affermazioni apparentemente così ordinarie occorra compiere escursioni in campi tanto disparati della matematica mi affascinò al punto tale da condizionare la mia scelta dapprima del Diplomarbeit (quello che oggi, dopo la discutibile adozione del "Modello di Bologna", viene chiamato Master), e in seguito pure del campo in cui svolgere il dottorato (anche se poi le mie ricerche mi condussero su altre piste).
Ho rivissuto alcune delle sensazioni provate durante le lezioni di Turnheer (e mentre mi preparavo per l'esame, che ebbe un andamento quasi surreale, visto che conoscevo i contenuti del corso praticamente a memoria fin nei dettagli) leggendo The Irrationals, un perfetto esempio di divulgazione di alto livello (destinata cioè ad un pubblico esperto). L'autore, Julian Havil, ha già dimostrato in altre occasioni la sua maestria in operazioni di questo tipo (si pensi ad esempio a Gamma, vedi qui), e anche in questo caso non delude. Il libro rappresenta un appassionante viaggio attraverso le tecniche che la matematica ha messo in campo per studiare l'irrazionalità, dalla "discesa infinita" all'interno del pentagono alle sofisticatissime stime utilizzate da Roger Apéry negli anni '70 del XX secolo, senza dimenticare le frazioni continue e la scoperta dei numeri trascendenti, forse i più affascinanti tra gli irrazionali. Havil non ci risparmia nemmeno i particolari scabrosi delle dimostrazioni (almeno fino a un certo punto), che spesso ne costituiscono il nocciolo (e che ai più potrebbero apparire come catene di stime senza alcuno scopo apparente: in effetti difficilmente il profano potrà apprezzare appieno l'immane sforzo intellettuale profuso da Apéry per dimostrare l'irrazionalità di un solo particolare valore della funzione zeta!).
Insomma, si tratta di un libro che mi sento di consigliare senza riserve al matematico, ma che per un pubblico meno smaliziato potrebbe risultare un osso veramente troppo duro.

Cédorak go!

Come vive un matematico "al fronte"? Come nasce un risultato "da medaglia Fields"? E quali emozioni si provano nel vincerla? A queste domande cerca di rispondere Cédric Villani nel suo Théorème vivant (di recente uscita anche in Italia, da Rizzoli). Con uno stile sincopato e informale, quasi da "blog cartaceo", la giovane étoile della matematica transalpina ci conduce attraverso i momenti salienti della sua ascesa definitiva all'olimpo della matematica, culminata con il trionfo all'ICM 2010 di Hyderabad, tra frustrazioni e momenti esaltanti, vita famigliare, musica, manga e anime, viaggi attorno al mondo ed incontri con personaggi straordinari (uno su tutti: John Nash), inframmezzati da accenni molto tecnici ai progressi sullo smorzamento di Landau non-lineare compiuti dall'autore con il suo collaboratore e allievo Clément Mouhot. Non si tratta, comunque, di un libro di divulgazione: la matematica descritta è talmente specializzata da risultare indigesta tanto al profano quanto al matematico "generalista", o almeno non così vicino al campo delle derivate parziali (come il sottoscritto, ex "onesto lavoratore" della geometria algebrica). Consigliato, quindi, a chi voglia gettare uno sguardo "dietro le quinte" della matematica contemporanea.

I'm back (?)

Tre mesi di... pausa? Sciopero? Mancanza d'ispirazione? Boh? So soltanto che, dal punto di vista lavorativo, sono stati tre mesi di fuoco... Buona Pasqua e a presto (prestissimo?): cose da scrivere ne avrei...

Crescita esponenziale

Tra gli esempi più "gettonati" per illustrare l'incredibile rapidità della crescita esponenziale vi è senz'altro la "leggenda degli scacchi", efficacemente narrata nell'incipit del bel romanzo La variante di Lüneburg di Paolo Maurensig: "Sembra che l'invenzione degli scacchi sia legata a un fatto di sangue. Narra infatti una leggenda che quando il gioco fu presentato per la prima volta a corte il sultano volle premiare l'oscuro inventore esaudendo ogni suo desiderio. Questi chiese per sé un compenso apparentemente modesto, di avere cioè tanto grano quanto poteva risultare da una semplice addizione: un chicco sulla prima delle sessantaquattro caselle, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via... Ma quando il sultano, che aveva in un primo tempo accettato di buon grado, si rese conto che a soddisfare una simile richiesta non sarebbero bastati i granai del suo regno, e forse neppure quelli di tutta la terra, per togliersi dall'imbarazzo stimò opportuno mozzargli la testa."

Tale leggenda, evidentemente di origine orientale,  doveva essere ben nota in occidente già nel XIII secolo, dal momento che Dante ne fa uso nel Canto XXVIII del Paradiso ("più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla") per descrivere la moltitudine degli Spiriti Angelici.

Il cortometraggio animato 2^n: A Story of The Power of Numbers, prodotto dai coniugi Ray e Charles Eames (quelli di Powers of 10, di cui ho parlato qui) traduce la leggenda in forma di cartoon. Eccolo qui (finché qualcuno non lo rimuoverà; comunque è disponibile nella app gratuita Minds of Modern Mathematics):