domenica 18 novembre 2018

Didone#1 - Rettangoli

Questo lo si può proporre anche in prima liceo, magari facendo riferimento alla recinzione di un campo: tra tutti i rettangoli di dato perimetro, qual è quello di superficie massima?


Se $x$ e $h=\frac{1}{2}P-x$ rappresentano i lati del rettangolo, per la sua area in funzione di $x$ vale
$$
A(x)=x \cdot h = \frac12Px-x^2=x\left(\frac{1}{2}P-x\right) \quad.
$$
Si tratta di una funzione quadratica, che assume il valore massimo in corrispondenza del vertice della parabola (aperta verso il basso) che la rappresenta. Dal momento che l'ascissa del vertice si trova a metà strada tra i due zeri $x=0$ e $x=\frac{1}{2}P$, risulta chiaro che il valore massimo viene assunto per $x=\frac{1}{4}P$, cioè quando il rettangolo è un quadrato.
Simultaneamente, sostituendo tale valore in $A(x)$, otteniamo una disuguaglianza isoperimetrica per i rettangoli:
$$
A \le \frac{1}{16} P^2 \quad \iff \quad 16A \le P^2 \quad.
$$

sabato 10 novembre 2018

Didone#0 - il problema



Narra una leggenda che Didone, esiliata da Tiro, ottenne dal re nordafricano Ierba tanta terra quanta ne poteva contenere una pelle di toro. Senza perdersi d'animo, la furba regina tagliò quest'ultima a striscioline in modo da poter cingere la superficie necessaria a fondare la città di Cartagine. È quindi in onore della sfortunata regina, cui Virgilio dedica il Libro IV dell'Eneide, che oggi il problema isoperimetrico nel piano è noto anche come problema di Didone. La sua formulazione è abbastanza semplice: qual è la superficie più ampia che può essere racchiusa da una curva chiusa di data lunghezza? - e la sua soluzione viene solitamente espressa per mezzo della disuguaglianza isoperimetrica
$$
4 \pi A \le P^2
$$
dove $A$ e $P$ rappresentano rispettivamente area e perimetro della superficie in questione ($P$ è quindi la lunghezza della curva chiusa). È facile verificare che la disuguaglianza diventa uguaglianza quando $A=\pi r^2$ e $P= 2\pi r$, cioè quando la curva è un cerchio.
Anche se dal punto di vista geometrico appare abbastanza plausibile, la soluzione del problema è tutt'altro che immediata. Il primo ad approcciarsi rigorosamente ad esso fu il matematico rossocrociato Jakob Steiner, che nel 1838 ne diede una (quasi-) dimostrazione basata su un processo di simmetrizzazione (qualche dettaglio lo si può trovare qui), e ricordo vagamente di averne studiata una versione al Politecnico, forse quella basata sulla formula di Green contenuta qui.
La complessità dell'argomento ne rende problematica una trattazione a livello liceale (anche se l'approccio di Steiner può essere reso abbastanza efficacemente), ma è senz'altro possibile specializzare la disuguaglianza specificando la forma della figura. L'uso, ad esempio, di triangoli o quadrilateri permette di applicare tecniche diverse, di difficoltà crescente, senz'altro accessibili ad uno studente del Liceo. Ne accennerò in una serie di post attualmente in fase di redazione.

lunedì 5 novembre 2018

Glorioso nella Scienza dei Numeri

Lunedì scorso sono passato da Brescia. Cittadina affascinante, ricca di storia e cultura; dovrò tornarci, dal momento che, visto il tempo da lupi, abbiamo dovuto forzatamente limitare all'essenziale la visita (però abbiamo pranzato bene, alla Locanda dei Guasconi). 
In Piazza del Duomo, a destra dell'ingresso del Duomo Vecchio, del tutto per caso mi sono imbattuto nella piccola lapide che ricorda l'incidente che diede il soprannome a Niccolò Fontana, vittima di una barbara aggressione durante il sacco del 1512 mentre come molti suoi concittadini cercava rifugio proprio all'interno della Chiesa.

domenica 4 novembre 2018

Temperamento equabile?

Grazie alle (quasi) illimitate possibilità offerte da Spotify, poco fa ero alla ricerca di una versione del Wohltemperiertes Klavier da usare come musica di sottofondo. Basandomi sul primo Preludio, ho trovato un po' secca la versione di Glenn Gould e un po' troppo morbida e sfuggente quella di Maurizio Pollini. La versione del 1972 di Friedrich Gulda mi è parsa un buon compromesso (musicista eclettico e geniale; ricordo un suo concerto di parecchi anni fa all'Estival Jazz luganese).
I 48 preludi e le 48 fughe contenute nei due volumi del Clavicembalo ben temperato rappresentano una pietra miliare nella storia della musica occidentale. Nel corso del XX secolo i teorici della musica hanno a lungo dibattuto sul vero significato del termine "ben temperato"; in particolare, non è chiaro se il temperamento inteso da Bach fosse davvero quello equabile, basato su una progressione geometrica di ragione pari alla radice dodicesima di 2. Ma questa sembra essere l'opinione di Eugenia Cheng, matematica e pianista, che nel video che segue ci illumina un po' sulla questione.
La questione del temperamento, con particolare riferimento a Johann Sebastian Bach, è un argomento affascinante al confine tra musica e matematica. Qui è possibile leggere qualcosa in proposito. Qui, inoltre, si indaga sul temperamento equabile considerandolo dal punto di vista delle frazioni continue, metodo "universale" per ottenere buone approssimazioni razionali.

mercoledì 26 settembre 2018

Che sia la volta buona?

Ingannevolmente semplice. Così definisce Sir Michael Atiyah la sua proposta di dimostrazione del più ambito tra i problemi aperti della matematica, l'Ipotesi di di Riemann, annunciata due giorni fa nell'ambito del sesto Heidelberg Laureate Forum. Sarebbe davvero un evento di portata storica, anche se lo scetticismo non manca, dal momento che il quasi novantenne Atiyah negli ultimi anni ha già in un paio di occasioni prodotto lavori che non hanno convinto la comunità matematica. Ma, d'altro canto, Atiyah non è un Opeyemi qualsiasi, bensì uno dei più eminenti matematici degli ultimi decenni, vincitore sia della medaglia Fields che del premio Abel.
Il riassunto del lavoro di Sir Michael, che combina tecniche sviluppate dal Friedrich Hirzebruch e John Von Neumann, è scaricabile qui. Qui, invece, è possibile visionare il talk tenuto dal Atiyah due giorni fa a Heidelberg (tra l'altro, i commenti che seguono il video non sono certo teneri nei confronti dell'anziano professore). Incrociamo le dita, ma forse non ci siamo neanche stavolta...